36、多项式插值：拉格朗日插值、逆插值及相关问题解析

多项式插值：拉格朗日插值、逆插值及相关问题解析

1. 拉格朗日插值多项式

拉格朗日插值多项式是一种用于通过已知数据点来构建多项式以进行插值的方法。

1.1 线性拉格朗日插值多项式

假设我们要通过直线连接两个值，将线性插值多项式表示为这两个值的加权平均值：
$f (x) = L_1 f (x_1) + L_2 f (x_2)$
其中，$L$ 是加权系数。第一个加权系数 $L_1$ 是在 $x_1$ 处等于 1，在 $x_2$ 处等于 0 的直线，表达式为：
$L_1 = \frac{x - x_2}{x_1 - x_2}$
同理，第二个系数 $L_2$ 是在 $x_2$ 处等于 1，在 $x_1$ 处等于 0 的直线，表达式为：
$L_2 = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$
将这些系数代入上述公式，得到连接两点的直线：
$f_1(x) = \frac{x - x_2}{x_1 - x_2} f (x_1) + \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} f (x_2)$
这里的 $f_1(x)$ 表示这是一个一阶多项式，此方程被称为线性拉格朗日插值多项式。

1.2 二阶拉格朗日插值多项式

同样的策略可用于通过三个点拟合一条抛物线。此时会使用三条抛物线，每条抛物线通过其中一个点，并且在另外两个点处等于零。它们的和将代表连接这三个点的唯一抛物线。二阶拉格朗日插值多项式可写为：
$f_2(x) = \frac{(x - x_2)(x - x_3)}{(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)} f (x_1) + \fr