35、傅里叶分析：从连续到离散的全面解析

傅里叶分析：从连续到离散的全面解析

1. 连续傅里叶级数

在研究热流问题时，傅里叶发现任意周期函数都可以用一系列具有谐波关系频率的正弦曲线的无穷级数来表示。对于周期为 $T$ 的函数，连续傅里叶级数可以写成：
[f(t) = a_0 + \sum_{k = 1}^{\infty}[a_k\cos(k\omega_0t) + b_k\sin(k\omega_0t)]]
其中，$\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$ 是基频，其常数倍 $2\omega_0, 3\omega_0$ 等被称为谐波。该式将 $f(t)$ 表示为基函数 $1, \cos(\omega_0t), \sin(\omega_0t), \cos(2\omega_0t), \sin(2\omega_0t), \cdots$ 的线性组合。

系数的计算公式如下：
- (a_k = \frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\cos(k\omega_0t)dt)
- (b_k = \frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\sin(k\omega_0t)dt)
- (a_0 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)dt)

示例：连续傅里叶级数逼近

考虑一个高度为 2，周期 $T = \frac{2\pi}{\omega_0}$ 的方波函数：
[f(t) =
\begin{cases}
-1, & -\frac{T}{2} < t < -\frac{T}{4} \
1, & -\frac{T}{4} < t < \fr