15、小波变换：从连续到离散的信号与图像处理利器

小波变换：从连续到离散的信号与图像处理利器

1. 连续小波变换（CWT）

连续小波变换（CWT）是一种重要的信号处理工具，它通过对输入函数与一组由不同尺度小波组成的带通滤波器组进行卷积来实现。具体来说，CWT 变换是通过将输入函数 (f(x)) 与 (n) 个尺度为 (a_i)（(i = 1, \ldots, n)）的小波进行卷积得到的。卷积的输出是 (n) 个 CWT 变换 (F_{CWT}(a_i, x))，实际上是 (f(x)) 在不同尺度下的滤波结果。

CWT 的合成过程可以通过以下公式实现：
[f(x) = \frac{1}{C_{\psi}} \int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{a^2} f \star \psi_a \psi_a(b - x) \, db \, da = \frac{1}{C_{\psi}} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{a^2} f \star \psi_a \star \psi_a \, da]
这个公式展示了如何从变换后的 (F_{CWT}(a_i, b)) 重建原始函数 (f(x))。

CWT 很容易扩展到二维情况。在二维情况下，滤波器的脉冲响应是二维小波 (a(x, y))，输入是图像 (f(x, y))。滤波后的图像版本代表了二维 CWT 变换。需要注意的是，这种方法会产生大量的冗余信息，特别是对于二维 CWT 变换，每个变换输出包含三维数据 (F_{CWT}(a, b_x, b_y))。不过，在满足