20、傅里叶变换：从连续到离散的全面解析

傅里叶变换：从连续到离散的全面解析

1. 连续傅里叶变换概述

在信号处理领域，连续傅里叶变换（Continuous Fourier Transform, FT）是一项关键技术，它能将信号从时域转换到频域，从而更方便地分析信号的频率特性。

1.1 对数极坐标表示的功率谱

在对数极坐标表示中，需要考虑单元格面积与 (k^2) 成正比的增加情况。功率谱 (|\hat{g}(k)|^2) 在对数极坐标表示中乘以 (k^2) 后，其衰减比笛卡尔表示中要平缓得多。这种表示方式有助于更好地评估空间结构的方向和小尺度特征，并且尺度或方向的变化只会导致信号在对数极坐标表示中的平移。

1.2 一维连续傅里叶变换

• 定义 ：若 (g(x) : R \to C) 是平方可积函数，即 (\int_{-\infty}^{\infty} |g(x)| dx < \infty)，则其傅里叶变换 (\hat{g}(k)) 定义为 (\hat{g}(k) = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) \exp (-2\pi ikx) dx)，逆傅里叶变换为 (g(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{g}(k) \exp (2\pi ikx) dk)。
• 算子表示 ：为了方便表示，引入算子符号，(\hat{g}(k) = Fg(x))，(g(x) = F^{-1} \hat{g}(k))，函数与其变换构成的傅里叶变换对记为 (g(x) \Leftrightarrow \hat{g}(k))。
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