11、生物医学信号与系统的简约建模：多项式展开模型与模型选择

生物医学信号与系统的简约建模：多项式展开模型与模型选择

1. 多项式展开模型

1.1 NARMA 模型

在一些限制条件下，任何具有 M 个输入 (x_m)（(m = 1, \cdots, M)）、一个输出 (y)、输出动态噪声源 (e_d) 和输出测量噪声源 (e_m) 的非线性离散时间随机系统，都可以用 NARMAX 模型（带外生输入的 NARMA 模型）来表示。在控制术语中，噪声信号 (e_d) 被视为输入激励信号，而 (x_m) 是外生输入信号。假设噪声 (e_d) 和 (e_m) 相互独立，且与信号 (y) 和 (x_m) 也独立。系统在时间 (n) 的输出信号 (y(n)) 可以表示为：
[y(n) = f(y(n - 1), \cdots, y(n - l_y), x_1(n - 1), \cdots, x_1(n - l_{x_1}), \cdots, x_M(n - 1), \cdots, x_M(n - l_{x_M}), e_d(n))]
其中，第 (m) 个输入的最大滞后为 (l_{x_m})，输出的最大滞后为 (l_y)。由于非线性函数 (f(\cdot)) 未知，且假设它是“弱”非线性的，通常使用多项式模型来近似它。多项式展开由其最大多项式次数 (D)、最大滞后 (l_{x_m}) 和 (l_y) 以及相关参数 (\theta^{(d)}(u_1, \cdots, u_d)) 和 (\varphi^{(d)}(u_1, \cdots, u_d)) 来表征。

在控制术语中，考虑 (e_d) 信号的建模部分称为移动平均（MA）部分。这里不考虑 MA 部分对建模的贡献，MA 部分将是与输入相关的参数集。时间 (n) 的输出信号 (y_s