12、生物医学信号与系统的简约建模探索

生物医学信号与系统的简约建模探索

1. 模型选择标准的验证

1.1 数值实验

在数值实验中，我们先以一个五阶线性移动平均（MA）滤波器为例，它具有单一的独立同分布高斯输入。对于真实模型，相关参数如 $D = 1$，$Z^{(1)} = 4$，$\theta = 0$，其表达式为：
[y(n) = \sum_{i = 0}^{4} \varphi^{(1)}(i)x_1(n - i) + e(n)]
其中 $e(n)$ 表示输出噪声信号，信号 - 噪声比设定为 -3 dB。模型选择算法的性能明显依赖于噪声水平。

在蒙特卡罗模拟（30 次运行）中，不同模型选择标准所选参数的平均数量与信号长度的关系如图 1a 所示。算法初始设置为 $D_{max} = 3$ 和 $l_{max} = 10$，这样算法事先并不知道系统是否为线性。从图 1a 可以看出，AIC（$c = 2$）在所有信号长度下都会过度拟合真实模型，AIC（$c = 4$）的结果稍好，但仍存在过度拟合问题。MDLs 随着数据长度的增加会收敛到真实的合成模型，而 MDL（$y = 4$ 或 $y = 32$）即使在短数据长度下也相当稳健（几乎没有观察到过度拟合）。

接着，我们来看一个合成非线性多项式系统，信号 - 噪声比同样为 -3 dB，其表达式为：
[y(n) = 0.5 \cdot x_1(n - 1) \cdot x_1(n - 2) + 0.4 \cdot x_1(n - 1) - 0.4 \cdot x_1(n - 2) \cdot x_1(n - 5) + 0.3 \cdot x_1(n - 5) - 0.3 \cdot x_1(n - 1) \cdot x_