10、马氏数据聚类：原理、算法与应用

马氏数据聚类：原理、算法与应用

在数据聚类领域，马氏距离相关的概念和算法有着独特的优势和应用场景。下面将详细介绍马氏距离相关的函数、算法及其在数据聚类中的应用。

1. 平面中的马氏距离类函数

在平面中，以原点为中心，半轴长为 (a,b>0)，绕原点旋转角度为 (\vartheta) 的椭圆 (E(O, a, b, \vartheta)) 有如下方程：
[
\frac{(x_1 \cos \vartheta + x_2 \sin \vartheta)^2}{a^2} + \frac{(-x_1 \sin \vartheta + x_2 \cos \vartheta)^2}{b^2} = 1
]
其中 (x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2)。

若记 (\Sigma := U \text{diag}(a^2, b^2) U^T)，其中 (U =
\begin{bmatrix}
\cos \vartheta & -\sin \vartheta \
\sin \vartheta & \cos \vartheta
\end{bmatrix}
)，则上述椭圆方程可写为 (x \Sigma x^T = 1)。

另一方面，若 (\Sigma \in \mathbb{R}^{2\times2}) 是对称正定矩阵，其特征值为正实数 (\lambda_1 \geq \lambda_2 > 0)，对应的特征向量 (e_1, e_2) 是正交的。这样的矩阵 (\Sigma) 定义了以原点为中心，半轴长为 (\sqrt{\lambda_1}, \sqrt