3、数据代表与聚类分析

数据代表与聚类分析

1. 二维数据集的代表

在处理二维数据集时，我们常常需要找到能够代表整个数据集的特定点。这些代表点有助于我们理解数据集的整体特征和分布。

1.1 三角形相关问题

给定三角形 △ABC，其顶点为 A = (0, 0)，B = (6, 0)，C = (4, 3)。我们可以构建基于该三角形各边的等边三角形，并找出这些等边三角形的顶点 A1、B1、C1，同时构建它们的外接圆，找到这些圆的交点。

计算结果如下：
- A1 = (7.598, 3.232)
- B1 = (−0.598, 4.964)
- C1 = (3., −5.196)
- 外接圆相关信息：
- K1 = ((5.866, 2.077), 2.082)
- K2 = ((1.134, 2.655), 2.887)
- K3 = ((3., −1.732), 3.464)
- 几何中位数：c⋆2 = (3.833, 1.630)

1.2 平面数据集的质心

对于平面上无权重的数据集 A = {ai = (xi, yi) : i = 1, …, m}，质心 c⋆LS 是优化问题的解：
[
\arg\min_{c\in\mathbb{R}^2} \sum_{i = 1}^{m} d_{LS}(c, a_i)
]
其中 (d_{LS}(a, b) = d_2^2(a, b) = |a - b|^2)。质心 c⋆LS 是函数 (F_{LS}(x, y) = \sum_{i = 1}^{m} |c - a_i|^2 = \sum_