26、格路径与前缀正常词的组合算法研究

格路径与前缀正常词的组合算法研究

1. 格路径示例与相关模型

在组合数学和概率论中，二维整数格上自回避行走的计数和渐近分析是著名的开放问题。为解决这一难题，人们引入并解决了许多自然子类问题。通过避免特定模式的格路径，能对自回避行走的许多子类进行计数，例如具有在半平面或带形区域内附加约束的部分定向自回避行走。

部分定向行走有三种类型的步，分别记为 n、e 和 s，自回避条件意味着不允许出现 ns 和 sn 因子。以下是三种不同的模型：
- 模型一 ：半平面为直线 x = 0 上方的区域，步的高度分别为 h(n) = 1，h(e) = 0，h(s) = -1。
- 模型二 ：半平面为直线 x = y 上方的区域，步的高度分别为 h(n) = 1，h(e) = -1，h(s) = -1。
- 模型三 ：半平面为直线 x = -y 上方的区域，步的高度分别为 h(n) = 1，h(e) = 1，h(s) = -1。

每个模型都能得到一个代数生成函数，且与相关公式兼容。具体不同模型的生成函数及对应的在线整数序列百科（OEIS）参考如下表所示：
| 步集合 S、模式 p、模型 | 生成函数 | OEIS 参考 |
| — | — | — |
| S = {-1, 0, 1}，p = [1, 0, …, 0, -1]，桥 | $\frac{1}{\sqrt{1 - 2t - 3t^2 + 2t^{\ell} - 2t^{\ell + 1} + t^{2\ell}}}$ | $\ell = 2$: OEIS A051286