25、带禁止模式的格路径解析组合学：枚举方面

带禁止模式的格路径解析组合学：枚举方面

1. 引言

具有有理或代数生成函数的组合结构在众多领域中起着关键作用，涵盖计算机科学（涉及树、列表、单词的算法分析）、计算几何（多面体中的整点、地图、图分解）、生物信息学（RNA 结构、模式匹配）、数论（整数组合、自动序列和模性质、代数簇的整数解）以及概率论（马尔可夫链、有向随机游走）等。这些结构往往源于具有递归规范的树状结构系统，或者可通过核方法的变体求解的函数方程。

自乔姆斯基和舒滕贝格尔关于上下文无关文法与代数函数之间联系的开创性文章发表以来，许多研究通过形式语言方法对组合结构进行编码和枚举。广义 Dyck 语言就等同于有向格路径，本文旨在探讨在这些基本对象需要避免给定模式的额外约束下，如何对其进行枚举。虽然这类对象可描述为上下文无关语言和有理语言的交集，但对应的上下文无关文法相关的代数系统在实际求解中会产生极其庞大的方程，当前计算机难以处理。

本文引入了一种通用且高效的方法，用于枚举由下推自动机生成的语言中避免给定模式的单词，绕过了这些难以处理的方程。对于有向格路径，该方法能够在几分钟内处理包含数千个字母的字母表。它依赖于解析组合学方法和核方法，统一了许多关于 Dyck 和 Motzkin 单词中自然模式（如峰、谷、驼峰等）以及树、组合等对应模式的研究。

2. 定义和符号

设 $S$ 为步骤（或跳跃）的集合，是 $\mathbb{Z}$ 的有限子集，至少包含一个负数和一个正数。从 $S$ 中选取步骤的格路径是一个有限单词 $w = [v_1, v_2, \ldots, v_n]$，其中所有字母都属于 $S$，可视化为平面上从原点开始的有向折线，由依次添加向量 $(1, v_1), (1,