18、树相关算法详解

树相关算法详解

一、树的基础概念

树是一种重要的组合结构，在处理具有递归分解结构的对象时自然出现，如分类、层次结构或谱系等。

1. 树的定义
   • 形式上，树是一个连通的无环图。若指定其中一个顶点为根，则称为有根树，根为树提供了从父节点到子节点的方向。
   • 没有子节点的顶点称为叶节点。具有 $n$ 个顶点的树恰好包含 $n - 1$ 条边。可以通过不断移除叶节点及其关联边，最终得到一个孤立顶点（即 1 个顶点和 0 条边的树）来证明。
2. 树的层次和深度
   • 有根树的顶点被划分为不同层次，根节点位于第 0 层，其子节点位于第 1 层，依此类推。
   • 最大的非空层次数定义了树的深度，也就是从根节点到叶节点的最大距离。
3. 子树和森林
   • 以顶点 $v$ 为根的子树由从原始树的根仅通过顶点 $v$ 可达的所有顶点和边组成。
   • 不相交的树的并集称为森林。
4. 树的动态数据结构
   • 有许多基于树的动态数据结构，如二叉红黑搜索树或区间树。这些结构会对树进行重新平衡操作，以保证插入、删除和查询操作的时间复杂度为对数级。
   • 在编程竞赛中，由于输入只给定一次，通常可以直接构建平衡结构，从而跳过插入/删除操作。