理解函数的满射和双射

之前在另一篇文章中介绍过单射函数
理解单射函数

但那篇文章并不是以集合概念切入的。

这篇文章会以函数的本质， 集合映射关系来介绍函数的 单射， 满射和双射

函数的本质是集合的映射关系

通俗地讲， 函数是把1个集合A 的元素映射到另1个集合B 的配对方法

注意， 上图的集合A 也可以理解为的函数定义域， 但是B 并不能理解为值域， 而是应该是陪域
($值域\subseteq 陪域$)

集合B中可以有额外的元素没有被A的元素所对应。

函数集合A中的元素不能对应多个B中的元素

很简单， 因为函数的性质有
$\forall x=x_2\to f(x)=f(x_2)$

同1个输入不能允许有多个不同的输出值
下图的集合关系不是1个函数

单射函数(Injective Function)

数学式定义：
$f(x)=f(x_2)⟺x=x_2$

集合定义:
单射的意思是 A 的每个元素都有 它独有的在 B 的相对元素

例如： 下面的集合关系， 就是代表1个单射函数

如果有多个不同A的元素指向同1个B的元素， 那么它就不是单射函数

这里已经隐隐约约可以看出， 单射函数是具有反函数的其中1个必要条件(并不是充分哦)

常见的单射函数有

$f(x)=2x+1,x\in R$
$f(x)=x^3，x\in R$
等等

非单射函数有
$f(x) = x^2
$f(x)=sin(x),x\in R$
等等

注意， 虽然 $f(x)=sin(x),x\in R$ 是非单射函数

但是如果我们调整下定义域，
$f(x)=sin(x),x\in (-\pi ,\pi ]$ 注意这里$-\pi$是不在定义域内的

那么就变成了1个单射函数了

满射函数(Surjective Function)

满射的集合定义：
函数f (从集合A到集合B), 当且仅当 B中的每1个元素， 至少在集合A有1个对应关系的元素。

例如下面的集合关系就是1个满射函数

而下面的集合关系是1个非满射函数， B中多了1个看起来多余的元素.

满射的陪域定义

由我之前介绍陪域的文章可知， 陪域并不是值域， 而是值域的1个超集。
对于函数定义的集合A 和 集合B, 其实集合B就是陪域

所以满射函数离不开陪域的定义

另1个定义：
如果 1个函数的 陪域等与值域， 那么这个函数是满射函数， 反之亦然

满射的数学式定义

通常我们定义1个 有明确数学式的函数， 都是只包括数学式和定义域。
但是如果定义1个满射函数的话， 往往需要带上陪域的定义

例如下面的函数是1个满射函数

$f:R->(0,+\infty ],f(x)=2^x$
这里的定义已经包括了定义域R 和 陪域$(0,+\infty ]$

但是， 如果我们把陪域定义为R的话，它就不是1个满射函数
$f:R->R,f(x)=2^x$
因为陪域中的负数 没有x可以对应

也就是讲， 如果我们要描述1个函数的满射性质， 就需要带入陪域

满射的正式定义：
$\forall b\in B,\exists a\in A\to f(a)=b$ 这里的$\exists$ 是存在(至少存在1个)的意思

那f:A->B 是1个满射函数， 反之依然

这里也隐隐觉得满射函数也是1个函数具有反函数的必要条件

双射函数(One-to-One Correspondence)

单射函数和满射函数并不是互相排斥的

例如下面集合关系是单射函数但是不是满射函数

而下面这个集合关系是满射函数而非单射函数

而下面这个函数关系不是单射函数， 也不是满射函数

最后一种情况， 既是单射函数， 又是满射函数

而同时是单射和满射的函数， 就是所谓的双射函数， 这时定义域和陪域的元素one-one 对应。
所以双射函数也叫 One-to-One Correspondence 一一对应函数

双射函数就是1个函数具有反函数的充要条件了！