反函数的定义
设函数
f
:
A
→
B
,
∀
b
∈
B
,
∃
!
a
∈
A
→
f
−
1
(
b
)
=
a
f: A \rightarrow B, \forall b \in B, \exists! \ a \in A \rightarrow f^{-1}(b) = a
f:A→B,∀b∈B,∃! a∈A→f−1(b)=a
那么
f
−
1
:
B
→
A
f^{-1}:B \rightarrow A
f−1:B→A 就是
f
:
A
→
B
f:A \rightarrow B
f:A→B 的反函数
其中f 必须是1个双射函数(同时满足单射和满射)
参考：
理解函数的满射和双射
如何求1个函数的反函数
对于简单的具有明确数学式子的函数
例如:
f
(
x
)
=
2
x
+
1
,
x
∈
R
f(x) = 2x + 1, x \in R
f(x)=2x+1,x∈R
我们可以简单地用数学规则调换一下x 和 f(x)的顺序
f ( x ) = 2 x + 1 f(x) = 2x + 1 f(x)=2x+1 --------> $-2x = 1 + f(x) $ --------> 2 x = f ( x ) − 1 2x = f(x) - 1 2x=f(x)−1 --------> x = f ( x ) 2 − 0.5 x = \frac{f(x)}{2} - 0.5 x=2f(x)−0.5
这时把
x
x
x 换成
f
−
1
(
x
)
f^{-1}(x)
f−1(x), 把 右边的
f
(
x
)
f(x)
f(x) 换成
x
x
x
就得出反函数的式子
f
−
1
(
x
)
=
0.5
x
−
0.5
f^{-1}(x) = 0.5x - 0.5
f−1(x)=0.5x−0.5
反函数的图像和本身函数的图像对于y=x 对称
很明显， 上图两个函数直线就是对于 45度直线(y=x)对称
实际上，任何具有反函数的函数图像都有这个性质
例如函数
f
(
x
)
=
x
3
,
x
∈
R
f(x) = x^3, x \in R
f(x)=x3,x∈R
和其反函数
f
(
x
)
=
x
3
,
x
∈
R
f(x) = \sqrt[3]{x}, x \in R
f(x)=3x,x∈R
在图像上也是对于 y=x 对称的
另一个角度来解释非双射函数为何没有反函数
一个函数满足双射条件， 从才能让定义域和陪域里的元素一一对应。 只有一一对应了才可能反过来产生另1个函数。
这个概念并不易理解
我们可以从图像切入
例如函数
f
(
x
)
=
−
x
2
,
x
∈
R
f(x) = -x^2, x \in R
f(x)=−x2,x∈R
它是1个抛物线， 但是我们可以强制画出它对于 y=x 的对称图像
如上图中的橙色图像， 已经不是1个函数了， 因为同1个x, 例如-2, 具有两个不同的y值
这就是为何 只有双射函数才 有反函数
但是， 如果我们调整下定义域
令
f
:
[
0
,
+
∞
]
→
[
−
∞
,
0
]
,
f
(
x
)
=
−
x
2
f:[0,+\infty] \to [-\infty, 0] , f(x) = -x^2
f:[0,+∞]→[−∞,0],f(x)=−x2
这时它就变成1个双射函数了
这样的话， 其实这个f(x) 是具有反函数的
f
−
1
:
[
−
∞
,
0
]
→
[
0
,
+
∞
]
,
f
−
1
(
x
)
=
−
x
f^{-1}:[-\infty, 0] \to [0,+\infty] , f^{-1}(x) = \sqrt{-x}
f−1:[−∞,0]→[0,+∞],f−1(x)=−x
图像：
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