理解单射函数

是否单射, 这个是函数的一个属性。

单射(injective)定义

单射函数(Injective Function)是指一种函数,它满足以下条件:

对于任意两个不同的输入值 x1 和 x2,如果 x1 ≠ x2,则函数的输出值 f(x1) 和 f(x2) 也必须不同,即 f(x1) ≠ f(x2)。

换句话说,单射函数是指一个函数,它将不同的输入值映射到不同的输出值。

公式定义:
∀x1,x2∈X,   x1≠x2⇒f(x1)≠f(x2)\forall x_1, x_2 \in X, \ \ \ x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)x1,x2X,   x1=x2f(x1)=f(x2)





单射函数的一些例子



1. 常见的一次函数(线数)

下面这个函数 就是1个单射函数
f(x)=3x+1,x∈Rf(x) = 3x + 1 , x \in Rf(x)=3x+1,xR

在这里插入图片描述



2. 3次函数

f(x)=x3+1,x∈Rf(x) = x^3 + 1, x \in Rf(x)=x3+1,xR

在这里插入图片描述

单射函数的主要特征

从函数图像大概可以得知, 单射函数随着x -> 增大, y的值是始终有个增加方向的, 从图像得知, 函数图像始终朝着1个方向, 要么向上, 要么向下, 不能回头。

但是这个特征不是绝对的, 只适用于连续的函数图像.
例如下面的单射函数就不符合上面的特征了

f(x)=1x,x∈R∧x≠0f(x) = \dfrac{1}{x}, x \in R \land x \neq 0f(x)=x1,xRx=0

在这里插入图片描述





非单射函数的一些例子



1. 常函数

f(x)=3f(x) = 3f(x)=3
这种无论x 取什么值, y都是固定值, 在函数图像的展示就是1条直线, 违反了单数函数的定义
在这里插入图片描述



2. 二次函数(抛物线)

例子:
f(x)=x2−4f(x) = x^2 -4f(x)=x24
x=−7x = -\sqrt{7}x=7 或者 7\sqrt{7}7 时 f(x)的值 都等与3, 违反了单射函数的定义
![在这里插入图片描述](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/f1c49f1028c449dd860880c1fdee63ca.png



2. 正弦函数

f(x)=sin⁡(x)f(x) = \sin(x)f(x)=sin(x)
更加明显了, 多个循环, 只要x 是 π\piπ的整数倍, f(x) 的值都是0
在这里插入图片描述

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