理解数列和函数的极限

什么是数列

数列就是按照1定顺序排列的数字， 也可以理解为包含数字元素的队列

格式:
$a_1,a_2,a_3,...,a_n$, $n\in N$

或者
{an}\{ a_n \}{an​}, $n\in N$

其中$a_n$ 叫做通项

数列的数学式表示方法

例如， 对于数列
$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}...\frac{1}{n}$ $(n\in N)$

可以表示为
${\left\{\frac{1}{n}\right\}}_{n=1}^{\infty }$
其中下标n=1 表示n从1开始， 上标$\infty$ 表示数列的长度是无限

或者
可以表示为
{an∣an=1n}\{ a_n | a_n = \frac{1}{n} \}{an​∣an​=n1​}, $n\in N$

第一种会更常用

数列的收敛和发散

对于数列{an}\{ a_n \}{an​}, 如果当n 趋向于无穷大时， $a_n$ (数列中最右的项)的值趋向于1个常数C， 那么我们认为这个数列是收敛的.
否则， 我们认为这个数列是发散的

记作
$\underset{n\to \infty }{\lim }a$ = C
其中lim 表示limit 限制， 极限的意思

或者也可以记作
$a_n\to C(n\to \infty )$

例子

数列${\left\{\frac{1}{n}\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 的极限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$
数列${\left\{\frac{n}{n+1}\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 的极限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n+1}=1$
数列{2n}n=1∞\left\{ 2^n \right\}_{n=1}^{\infty}{2n}n=1∞​ 没有收敛的极限，它是发散的

值得注意的是
数列${\left\{\frac{n^2}{n+1}\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 的极限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2}{n+1}=n$ 看起来收敛于n， 但是n并不是1个常数， 所以它和自然数列{n}n=1∞\left\{ n \right\}_{n=1}^{\infty}{n}n=1∞​ 一样是发散的， 并不是收敛

双向数列

上面的数列都是单向数列， 就是有1个明显的起点(n 从1 到 $\infty$)

但是有些数列的下标是从$-\infty$到 $\infty$的， 我们认为这种数列为双向数列
例如: {2n}n=−∞∞\left\{ 2^n \right\}_{n=-\infty}^{\infty}{2n}n=−∞∞​

注意， 这里的$-\infty$ 并不是无穷小， 它是负无穷大！

极限的符号表示

例如:
$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$

这里的 $n\to \infty$ 并不是 n 到正无穷大的意思， 而是n 到正无穷大和负无穷大， 因为它的数列可能是双向数列， 无论n是正无穷大和负无穷大， 数列${\left\{\frac{1}{n}\right\}}_{n=-\infty }^{\infty }$ 都收敛于0

所以：
$n\to \infty$ 意思是 当$|n|$ 趋向于无穷大时， 也就是正无穷大or 负无穷大
$n\to +\infty$ 意思是n 趋向于正无穷大
$n\to -\infty$ 意思是n趋向于负无穷大
$n\to x$ 表示n 从左右两侧无限接近x
$n\to x^{-}$ 表示n 从左侧无限接近x
$n\to x^{+}$ 表示n 从右侧无限接近x

例子

1.$\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^{-x}=0$

这个函数只有在右向有极限

2. $\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{-1}=0$ , $x\in R\cap x\ne 0$

这个函数就相当于上面提到的 {1n}\{ \frac{1}{n} \}{n1​}数列， 但是其实它在两个方向都有极限的， 而且两个方向都是0

$\underset{x\to -\infty }{\lim }arctan(x)=-\frac{\pi }{2}$
$\underset{x\to +\infty }{\lim }arctan(x)=\frac{\pi }{2}$

这个例子， arctan(x) 反正切函数， 它在两个方向都有极限， 但是两个方向的极限值是不同的

x趋向于某个值的极限

上面的例子， 列出的极限值都是基于 x 趋向于正无穷大or 负无穷大的。

但是在函数中， 也有x趋向于某个具体值的函数极限值

例如：

例子1

假如函数$f(x)=x^2$ 在某个x值$x_0$ 附近里有定义。
那么 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$ (函数在某段区间是否连续的定义）

例子2

对于函数
$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$, $x\ne 1$

可以见这个函数与 $f(x)=x+1$ 很类似， 只是在x=1 时没有定义， 但是它在$x_0=1$是有极限的

$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x+1)\cancel{(x-1)}}{\cancel{x-1}}=\underset{x\to 1}{\lim }x+1$ = 2

x从某个方向趋向于某个值的极限

假如函数$f(x)$ 在 $x_0$ 的右半领域有定义$(x_0,x_0+\delta )$

或者
$f(x)$ 在 $x_0$ 的左半领域有定义$(x_0-\delta ,x_0)$

那么我们可以用

$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)$ 表示 $x$ 从 $x_0$ 左侧接近 $x_0$ 的极限

$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$ 表示 $x$ 从 $x_0$ 右侧接近 $x_0$ 的极限

注意， 在某些分段函数中
$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)$ 和 $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$ 不一定相等

而且

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$ 的充要条件是 $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=A$