理解幂运算

幂元算的基本 $a^n=\underset{n\text{ times}}{\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}}，n\in N$

简单来讲， $a^n$ 就是 n 个 $a$ 相乘, 其中n是自然数
$a^2=a\ast a$
$a^3=a\ast a\ast a$

由于这是幂的基本定义， 没有什么解释的空间， 注意这里的n是自然数就行

理解$a^n\ast a^m=a^{n+m},m,n\in N$

这个也不难理解， 分别拆开看一下就行

$a^m\ast a^n$ = $\underset{mtimes}{\underbrace{a\ast a...a}}$ * $\underset{ntimes}{\underbrace{a\ast a...a}}$ = $\underset{m+ntimes}{\underbrace{a\ast a...a}}$

也就是讲$a^m\ast a^n$ 就是m+n 个$a$相乘， 就是 $a^{m+n}$了

理解$(a^m{)}^n=a^{mn}$ , $m,n\in N$

这个更简单

$a^m$ = $\underset{mtimes}{\underbrace{a\ast a...a}}$

所以 $(a^m{)}^n$= $\underset{ntimes}{\underbrace{\underset{mtimes}{\underbrace{a\ast a...a}}\ast \underset{mtimes}{\underbrace{a\ast a...a}}\ast \underset{mtimes}{\underbrace{a\ast a...a}}...}}$ = $\underset{m\ast ntimes}{\underbrace{a\ast a...a}}$ = $a^{mn}$

如果幂是1个负数？ 理解$a^{-1}=\frac{1}{a}$

这里要一点技巧
$a^2=a^{3-1}=a^3\ast a^{-1}$ 这是根据上面的公式$a^{m+n}=a^m\ast a^n$ 推导的

那么 $a^3$ = $a\ast a\ast a$ 到底与什么什么相乘才等与$a^2$?
自然是$\frac{1}{a}$

所以$a^{-1}=\frac{1}{a}$

如果幂是0？ 如何理解$a^0=1$

因为 $a=a^1=a^{1+0}=a^1\ast a^0=a\ast a^0=a$
所以$a^0=1$

如果底和幂都是0？ 如何理解$0^0$

首先上面公式$a^0=1$ 所以 $0^0=1$?
但是$0^n$= 0 因为任意个0相乘等于0 所以 $0^0=0$?

我们试下python 校验一下:

from numpy import power

def test_power(): 
    print("power(2, 0) is ", power(2,0)) # 1
    print("power(0, 1) is ", power(0,1)) # 2
    print("power(0, 0) is ", power(0, 0)) # 2


test_power() 

输出:

power(2, 0) is  1
power(0, 1) is  0
power(0, 0) is  1

所以python 认为$0^0$ = 1
0个任意数相乘都是1

实际上
在数学中，(0^0) 是一个有争议的话题。不同的数学领域和上下文中可能会有不同的解释：

1. 组合数学：在组合数学中，(0^0) 通常被定义为 1，因为它表示空集的幂集的基数。
2. 分析学：在分析学中，(0^0) 通常被认为是未定义的，因为它涉及到不确定形式。

一般情况下， 我们仍然认为0的0次方是1

理解$a^{-n}=\frac{1}{a^n},n\in N$

推导方法与上面的公式是完全一样的

$a^{m-n}=a^m\ast a^{-n}，m,n\in R$
这里$a^{m-n}$ = $\underset{m-ntimes}{\underbrace{a\ast a...a}}$
$a^m$ = $\underset{mtimes}{\underbrace{a\ast a...a}}$

所以 $a^m$ = $\underset{mtimes}{\underbrace{a\ast a...a}}$ 要乘以 $\frac{1}{\underset{ntimes}{\underbrace{a\ast a...a}}}$ 才等于 $\underset{m-ntimes}{\underbrace{a\ast a...a}}$

所以 $a^{-n}$ = $\frac{1}{\underset{ntimes}{\underbrace{a\ast a...a}}}$ = $\frac{1}{a^n}$ 注意这里的n是自然数

如果幂是1个分数？ 理解$a^{\frac{1}{n}}$ = $\sqrt[n]{a}$ ， $n\in N$

如果幂是1个分数， 为什么是开方呢。

其实也不难理解
已知$a^1=a$

则 $a=a^{\underset{ntimes}{\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}...}}}$ = $\underset{ntimes}{\underbrace{a^{\frac{1}{n}}\ast a^{\frac{1}{n}}\ast a^{\frac{1}{n}}...}}$

所以 n 个 $a^{\frac{1}{n}}$ 相乘等于$a$

根据幂运算和开n次方的定义， $a^{\frac{1}{n}}$ = $\sqrt[n]{a}$

如何理解$a^{\frac{m}{n}}$ = $\sqrt[n]{a^m}$ , $m,n\in N$

因为$a^{\frac{m}{n}}$ = $a^{\frac{1}{n}\ast m}$ = $(a^m{)}^{\frac{1}{n}}$ = $\sqrt[n]{a^m}$
当然也可以拆为 $a^{\frac{m}{n}}$ = $a^{\frac{1}{n}\ast m}$ = $(a^{\frac{1}{n}}{)}^m$ = ${\sqrt[n]{a}}^m$

也是讲 1个数， 先求m次方， 求n方的根
跟1个数， 先求n方根， 再求m次方 ， 两种方法的最终值是等价的