23、图着色与顶点删除问题的研究进展

图着色与顶点删除问题的研究进展

1. 梳状凸和毛毛虫凸二分图的列表 3 - 着色问题

在处理输入图 $G = (V, E)$ 时，若未给定顶点集 $V$ 划分为独立集 $X$ 和 $Y$ 的二分划分，可按以下方式处理：
- 连通二分图情况 ：若 $G$ 是连通二分图，$V$ 可唯一划分为两个独立集 $Q$ 和 $R$。此时可运行识别算法两次，一次令 $X = Q$ 且 $Y = R$，另一次令 $X = R$ 且 $Y = Q$。当且仅当算法的两次运行中至少有一次产生毛毛虫表示时，$G$ 是毛毛虫凸的。
- 非连通二分图情况 ：若 $G$ 不连通，设其连通分量为 $H_1, \cdots, H_r$（$r > 1$）。可在多项式时间内检查每个连通分量 $H_j$（$1 \leq j \leq r$）是否为毛毛虫凸二分图。若所有 $r$ 个连通分量都是毛毛虫凸的，则整个图 $G$ 是毛毛虫凸的，且可通过任意顺序连接各连通分量的毛毛虫表示的主干来获得 $G$ 的毛毛虫表示；若至少有一个连通分量（如 $H_j$）不是毛毛虫凸的，则 $G$ 也不是毛毛虫凸的。

由此可得推论：存在一个多项式时间算法，用于判定给定的二分图 $G = (V, E)$ 是否为毛毛虫凸，即是否存在将 $V$ 划分为独立集 $X$ 和 $Y$ 的二分划分，使得存在毛毛虫表示 $T = (X, F)$。

此前，确定 $k \geq 3$ 时 $Li k - col$ 问题在梳状凸二分图上的计算复杂度是一个开放问题。后续研究证明，该问题在 $k \geq 4$ 时是 NP - 完全的，但 $k = 3$ 时的复杂度仍未