4、图算法与网络探索的前沿研究进展

图算法与网络探索的前沿研究进展

1. 分布式算法与图优化

在分布式系统中，如何高效地解决图优化问题是一个关键挑战。基于原始 - 对偶模式开发快速分布式算法，为解决这类问题提供了一种通用方法。这种方法适用于计算图的全局函数，如最大独立集、顶点和边着色、小支配集、顶点覆盖等。在同步消息传递网络中，节点仅知道其邻居信息，全局信息有限，该方法通过利用原始 - 对偶模式的局部性，实现了高效的分布式实现。

1.1 顶点覆盖问题示例

以顶点覆盖问题为例，首先将其表述为整数规划问题（IP）：
[
\begin{align }
\min &\sum_{v\in V} c(v) \cdot x_v \
\text{s.t.} &x_v + x_u \geq 1, \forall e = (u, v) \in E \
&x_v \in {0, 1}, \forall v \in V
\end{align }
]
然后将其松弛为线性规划问题（LP），并得到其对偶问题（D）：
[
\begin{align }
\max &\sum_{e\in E} \alpha_e \
\text{s.t.} &\sum_{e=(u,v)\in E} \alpha_e \leq c(v), \forall v \in V \
&\alpha_e \geq 0, \forall e \in E
\end{align }
]
通过让所有对偶变量 $\alpha_e$ 以均匀