17、受限图类中的动态着色与最小热带连通集枚举

受限图类中的动态着色与最小热带连通集枚举

1. 动态着色问题概述

动态着色是图论中的一个重要问题，在不同的受限图类中有着不同的复杂度和解决方案。对于动态着色问题，我们可以通过将其转化为整数线性规划（ILP）问题来求解。

• 算法运行时间 ：算法的运行时间与两部分相关，一是将动态着色问题转化为 ILP 问题的时间，二是找到所创建 ILP 实例可行解的时间。具体各约束条件的构建时间如下：
  | 约束条件 | 构建时间 |
  | ---- | ---- |
  | (C0) | (O(2^t t^2)) |
  | (C1) 和 (C5) | (O(2^t)) |
  | (C2) 和 (C3) | (O(t 2^t)) |
  | (C4) | (O(t 2^t)) |

使用相关定理找到 ILP 的可行赋值需要 (O(q^{2.5q + o(q)}n)) 时间，其中 (q = 2^t)，整体运行时间为 (O(q^{2.5q + o(q)}n))。

• 参数化结果 ：

  • 当以双胞胎覆盖（twin - cover）的大小 (t) 为参数时，动态着色问题可以在 (O(q^{2.5q + o(q)}n)) 时间内解决，其中 (q = 2^t + 2^t)。
  • 当以图的团宽度（clique - width）(w) 和颜色数量 (k) 为参数时，动态着色问题可以在 (O(3^{O(wk)} poly(n))) 时间内解决。
  </