27、连续随机过程：从排队模拟到种群动态模型

连续随机过程：从排队模拟到种群动态模型

1. 排队模拟结果分析

在排队系统的模拟中，进行了三次时间为 (T = 500) 的单服务器排队模拟，相关结果如下表所示：
| 服务数量 | 平均排队时间 | 平均排队长度 |
| — | — | — |
| 2,041 | 0.387242 | 1.58206 |
| 2,071 | 0.314951 | 1.28780 |
| 2,119 | 0.301245 | 1.32171 |

计算三次模拟的平均排队时间为 0.334479，平均排队长度为 1.397190。与 (T = 10) 的模拟结果相比，这些平均值更接近预测值，且模拟值的范围也更小。这表明增加模拟时间 (T) 可以使模拟值更接近理论预测值。

2. 纯出生过程模型

2.1 模型概述

在之前考虑种群的人口统计学随机性时，假设出生和死亡速率呈正态分布。而这里的纯出生过程采用连续模型，与之前的离散模型不同。在这个模型中，种群的变化是持续发生的，而不仅仅局限于繁殖期或冬季。

每个个体的固定出生率可以类比为抛一枚不公平硬币得到正面的概率。每次时间步都抛硬币，如果出现正面，就有一个个体出生。由于是连续模型，时间步非常小，硬币会一直被抛掷。因此，该模型中的人口统计学随机性来自抛硬币（伯努利试验）的随机性，而之前模型的随机性来自正态分布。并且该模型只考虑出生，简化了分析，死亡可以以明显的方式加入，但分析会变得更复杂。

2.2 概率假设

假设在极短的时间间隔 (\Delta t) 内，一个个体繁殖的概率与 (\Delta t) 成正