18、长跳少跳：使用 h 缩放改进动态边界投影

长跳少跳：使用 h 缩放改进动态边界投影

1. 引言

马尔可夫种群过程（MPPs）是用于描述相互作用主体系统的模型。底层种群用连续时间马尔可夫链（CTMC）表示，状态向量的每个分量代表一类主体。状态之间的转移由转移类建模，每个转移类包括一个转移向量（表示状态向量的变化）和一个状态相关的速率函数（表示在给定状态下转移发生的频率）。

MPPs 因其通用性和对复杂随机动态的编码能力，被广泛用于研究计算机系统的性能，如排队网络、虚拟化环境、对等网络、恶意软件传播动态和资源分配策略等。然而，这些应用中对随机模型的分析受到状态空间指数增长的阻碍，即所谓的维度诅咒。这使得主方程（ME）的直接求解在很多情况下难以实现，随机模拟算法的计算也很密集。为解决这个问题，人们提出了不同的技术，如流体（即平均场）近似、截断方法和聚合技术。

本文提出了一种基于简单重新缩放的近似方法：考虑一个以较低频率进行更长跳跃的过程，跳跃幅度和速率函数按比例重新缩放。当原始过程在有限状态空间中演化时，可减少可达状态的数量，即使用更粗的网格覆盖原始状态空间，使过程到达的顶点更少。为进一步减少近似所需的方程数量，我们将 h 缩放与动态边界投影（DBP）方法相结合。DBP 通过将描述状态空间子集演化的近似 ME 与平均场方程耦合，动态地移动观察子集。我们证明了 h 缩放与 DBP 结合的效果优于单独应用 h 缩放，且能在保持近似高精度的同时减少 DBP 使用的方程数量。从理论上看，我们的缩放方法在热力学极限下保留了原始系统的行为。

2. 背景知识

• 马尔可夫种群过程 ：考虑一个在 $S \subseteq N^m$ 上演化的 MPP $