21、连续模型：微分方程在现实世界中的应用与求解

连续模型：微分方程在现实世界中的应用与求解

1. 连续模型概述

在现实世界中，不同事物的变化方式存在显著差异。比如，对枫树进行年度普查通常就足以了解其数量变化，而人类人口则是每时每刻都在发生变化。之前我们主要研究了离散时间增量变化的过程模型，而现在我们将聚焦于随时间连续变化的过程，或者虽然是离散变化但时间步长足够小，使得连续模型可以作为可接受近似的过程。

在建模过程中，了解一些微分方程及其特殊类型的求解方法是很有帮助的。我们主要关注形如 $\frac{dx}{dt}=f(x)$ 或 $\frac{dx}{dt}=f(x,t)$ 的微分方程，其中高阶微分方程仅涉及常系数线性方程，同时也会研究一阶微分方程组。

2. 微分方程的建立：隔室分析

隔室分析是一种用于建立描述一个或多个随时间增减且可能相互影响的变量的方程的概念方法。每个变量用一个盒子或隔室表示，箭头表示流入和流出，流入使隔室内的量增加，流出使量减少。变量 $x$ 的变化率等于流入量减去流出量，即“变化率等于流入量减去流出量”。

以下是几个例子：
- 人口模型 ：如图 5.1 所示，一个盒子代表人口，有两个流入（出生和移民）和两个流出（死亡和移民）。假设每个流量都与当前人口规模成正比，可得到微分方程 $\frac{dx}{dt}=bx + ix - dx - ex$。
- 逻辑方程模型 ：如图 5.2 所示，有一个代表增长率的流入。当增长率为负时，它相当于流出。
- 收入阶层模型 ：如图 5.3 所示，一个城镇的家庭分为低、中、高三个收入阶层