15、实证建模：从线性到非线性的数据拟合

实证建模：从线性到非线性的数据拟合

1. 实证建模概述

在实际应用中，所有有用的模型都需要在一定程度上整合来自现实世界的信息，这些信息通常以数值数据的形式呈现。数据不仅可用于确定参数值和参数分布，还能用来明确一个变量如何依赖于另一个或多个变量。

1.1 函数拟合类型

• 线性函数拟合 ：线性函数是最简单且最常用的函数类型。在进行线性函数拟合时，会涉及协方差、相关性、线性回归和最小二乘法等概念。
• 非线性函数拟合 ：非线性函数可分为三种情况：
  • 本质线性 ：能写成 $y = \beta_0f_0 + \beta_1f_1 + \cdots + \beta_nf_n$ 的形式，其中 $\beta_i$ 是常数，$f_i$ 是基函数。
  • 本质非线性但可线性化 ：像指数函数 $y = Ae^{rx}$ 和幂函数 $y = Ax^r$ 等重要的非线性函数，可通过合适的变换（如对一个或两个变量取对数）转化为本质线性函数。
  • 本质非线性且不可线性化 ：例如逻辑曲线 $y = \frac{1}{1 + e^{-x}}$ ，这类函数既非线性，也无法转化为线性函数。在这种情况下，有时可直接应用最小二乘法，但常存在数值计算上的困难。

1.2 非线性数据的另一种处理方法——插值法

插值法不试图用单一曲线拟合数据，而是