4、离散动力系统的数学分析与建模应用

离散动力系统的数学分析与建模应用

1. 封闭形式解与指数增长模型

在处理递归关系时，我们常常会遇到计算上的挑战。例如，对于递归方程 (x(n) = Rx(n - 1))（其中 (R = r + 1)），要计算 (x(100))，就需要先计算 (x(99))，而计算 (x(99)) 又需要先计算 (x(98))，以此类推。对于较小的 (n) 值，借助计算机辅助，这并不是问题，但对于较大的 (n) 值，这个过程会非常耗时。

为了避免计算先前的值，我们可以寻找封闭形式解。通过观察 (x(1) = Rx(0))，(x(2) = Rx(1) = R^2x(0))，以此类推，我们可以推测 (x(n) = R^nx(0))，这可以通过简单的归纳证明来验证。这个方程 (x(n) = R^nx(0)) 就是我们想要的封闭形式解。

计算 (x(100)) 只需要计算 ((r + 1)^{100}x(0))，计算 (x(100)) 和 (x(1000)) 所需的步骤和时间是相同的。这个方程是一个以 (R) 为底的指数方程，因此被称为指数增长模型。指数模型在建模中是非常重要的，它是后续许多分析的基础。

下面是关于函数 (y = R^n) 的性质总结：
| (R) 的范围 | 函数 (y = R^n) 的性质 |
| ---- | ---- |
| (R > 1) | 指数增长 |
| (0 < R < 1) | 指数衰减 |
| (-1 < R < 0) | 阻尼振荡 |
| (R < -1) | 无阻尼振荡 |
| (R \in {0, 1, -1}) | 常数或在两点之间振荡