25、多级自适应交叉近似算法：原理、压缩与求解

多级自适应交叉近似算法：原理、压缩与求解

1. 引言

在电磁学的矩量法（MoM）中，矩阵压缩是提高计算效率和减少内存需求的关键技术。单级自适应交叉近似（ACA）通过K - means算法将基函数聚类，对系统矩阵的非对角块进行压缩。在此基础上，多级自适应交叉近似（MLACA）进一步发展，通过递归细分基函数组，显著提高了压缩率，同时也使得直接求解成为可能。

2. MLACA基础

MLACA基于这样一个思想：当分离良好的源组和测试组的大小成反比变化时，自由度（DoF）渐近保持不变。一个L级的MLACA会将每个单级ACA组中的基函数进一步划分为$2^L$个空间局部子组。

对于一个$m$行$n$列的非对角块$Z_{m×n}$，现在它由$2^L$个行子块和列子块组成，每个子块大约有$\frac{m}{2^L}$行和$\frac{n}{2^L}$列。MLACA压缩过程如下：
1. 首先对$Z$的每个块列独立应用ACA。
2. 将压缩后的块列的$U$矩阵按列成对连接，然后按行分成两半。
3. 对上下两半递归重复ACA压缩过程，直到只剩下一个块行和块列。

以$L = 2$的MLACA为例，其操作过程如下：
- 第0级（$l = 0$） ：使用ACA + QR/SVD分别压缩$Z$的每个块列，得到四对$U$和$V$块矩阵。将$U$块堆叠在一起形成$U^{(1)}_0$，$V$块形成块对角矩阵$V^{(1)}_0$并存储。
- 第1级（$l = 1$） ：将$U$列块成对组合并按行分成两半，得到四个较小的块，然后对每个半块的块列进行压