22、自适应交叉近似（Adaptive Cross Approximation）技术详解

自适应交叉近似（Adaptive Cross Approximation）技术详解

1. 引言

在电磁学的数值计算中，矩阵的存储和求解是一个关键问题。自适应交叉近似（Adaptive Cross Approximation，ACA）技术为解决这一问题提供了有效的途径。它通过对矩阵进行压缩，减少了内存需求，同时提高了计算效率。本文将详细介绍ACA技术的相关内容，包括目标组大小的选择、LU分解、矩阵系统求解以及软件实现等方面。

2. ACA目标组大小的选择

ACA中目标组大小$N_g$的选择基于多个因素：
- 避免内存需求过大 ：由于ACA中对角块不进行压缩并以完整形式存储，若$N_g$过大，对角块的内存需求将过高。
- 发挥BLAS性能 ：在优化的BLAS库（如Intel MKL和NVIDIA cuBLAS）中，Level 3 BLAS矩阵 - 矩阵乘积cgemm的性能随块大小增加而提升，但最终会趋于平稳。
- 保证非对角块的可压缩性 ：若$N_g$过小，非对角块的可压缩性会受到影响，无法充分利用优化BLAS的潜力。

经验表明，在当前硬件上，ACA最适宜的$N_g$范围为2500到3500个未知数，这样可以平衡非对角块的压缩、对角块的存储需求以及块操作的效率。

3. ACA压缩矩阵的LU分解

3.1 单级ACA方法

在填充块矩量法（MoM）矩阵后，非对角块以压缩形式存储，需要求解矩阵系统。一种方法是对压缩后的系统矩阵应用块LU分解，此时LU矩阵的非对