4、电磁学中的辐射与散射：格林函数、矢量势及近远场分析

电磁学中的辐射与散射：格林函数、矢量势及近远场分析

1. 格林函数

1.1 三维格林函数

三维格林函数 (G(r, r’)) 描述了点电磁源的解，具有球对称性。我们仅保留拉普拉斯算子的径向项，得到：
(\nabla^{2}G = \frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}(r^{2}\frac{dG}{dr}) = \frac{d^{2}G}{dr^{2}} + \frac{2}{r}\frac{dG}{dr})
通过一系列推导，我们得到 (G(r)) 的解为：
(G(r) = \frac{Ae^{-jkr}}{r} + \frac{Be^{jkr}}{r})
由于解中只包含向外传播的波，我们只保留第一项：
(G(r) = \frac{Ae^{-jkr}}{r})
为了确定常数 (A)，我们需要匹配边界条件。首先，当 (r \to \infty) 时，(G(r) \to 0)，这一条件已经满足。然后，我们在源点 (r = 0) 处匹配格林函数，通过在源周围半径为 (a) 的球体积分，最终得到 (A = \frac{1}{4\pi})，因此三维格林函数为：
(G(r) = \frac{e^{-jkr}}{4\pi r})

1.2 二维格林函数

二维问题中，电流、表面和场沿 (\hat{z}) 轴延伸到 (\pm\infty)，在 (\hat{z}) 方向没有波传播。我们在圆柱坐标系 ((\rho, \varphi, z)) 中处理这些问题，二维格林函数满足：
(\nabla^{2}G(\rho, \rho’) + k^{2}G(\rho, \rho’) = -\d