14、交换关联泛函的发展与机器学习应用

交换关联泛函的发展与机器学习应用

1. 坐标缩放与动能泛函变换

在相关研究中，精确动能泛函可以通过坐标缩放进行变换。例如，精确动能泛函 (T_s[n]) 可变换为 (T_s[n_{\gamma}] \equiv \gamma^2T_s[n]) ，其中 (d) 为空间维度。Hollingsworth 等人研究了在一维模型中使用坐标缩放条件来提高可转移性。他们的具体操作步骤如下：
1. 首先，使用特定尺度下的密度数据集对基于机器学习（ML）的动能泛函进行训练。
2. 当将训练好的模型应用于不同尺度的数据时，通过特定方程（Eq. (4.25)）将缩放参数调整为训练数据的值。
3. 最后，通过方程 (T_s[n_{\gamma}] \equiv \gamma^2T_s[n]) 将 ML 输出的 (T_s[n]) 转换为原始密度尺度的结果。

对于某些模型（如 Hooke’s 原子），这种方法比直接在不同尺度下预测 (T_s[n]) 具有更高的准确性，但对于另一些模型（如拉伸的 (H_2)）则不然，其准确性取决于缩放关系对系统的相关性。

2. 基于 ML 的交换关联泛函性能

许多研究展示了基于 ML 的交换关联泛函的优异性能，以下是一些具体案例：
- Nagai 等人的研究 ：他们使用包含 3 种分子的原子化能和密度的数据集构建了基于神经网络（NN）的元广义梯度近似（meta - GGA）泛函。该泛函对 147 种分子的原子化能的平均绝对误差（MAE）为 4.7 kcal/mol，而性能最佳的传统 meta - GGA 泛函（M06 - L）的 MAE 为 5.2 kcal/mol。后来，他