20、概率演化与量子力学的涌现：静态记忆材料与信息损失

概率演化与量子力学的涌现：静态记忆材料与信息损失

1. 静态记忆材料概述

静态记忆材料是一种概率系统，能够在不同状态下保持足够长的时间，并保留初始状态的记忆。与概率自动机的确定性演化不同，真正的概率演化中，步长演化算子不是唯一的跳跃矩阵，它能将给定时刻 t 的状态以一定的概率转移振幅映射到 t + ε 时刻的多个不同状态。

静态记忆材料的一个简单条件是概率系统不应有单一的平衡态，否则系统在足够长的时间后会处于平衡态，从而失去初始状态的所有记忆。我们主要关注能无限期保留初始信息的静态记忆材料。

2. 空间中的演化

静态记忆材料由主体区域和表面组成。主体部分可看作一个固定的概率系统，以局部链的形式存在。要存储的信息由表面的边界条件提供，系统的不同状态对应不同的边界条件。

对于多维系统，我们在对应局部链“初始”和“最终”层的超曲面上指定边界条件。概率分布由公式给出：
[
P(m) = \cdots \text{(对应文中公式 (4.51))}
]
其中，整数 m 通常表示空间中的位置，也可标记更抽象的结构，如人工神经网络中的层。

以大 β 和有限体积的 Ising 链为例，当 β → ∞ 时，主体有两个简并基态（自旋向上和自旋向下），可存储 1 比特信息；当 β 有限且相关长度小于主体大小时，主体只有一个平衡态，无法存储信息；当 β 足够大，相关长度超过链长时，边界信息在主体中部分保留，可存储边界信息。

3. 不完美唯一跳跃链

唯一跳跃链是完美的静态记忆材料，能无损失地将边界信息传输到主体中。例如，二维对角 Ising 模型在考虑特定位置和