14、时间与演化：从时钟系统到量子力学的探索

时间与演化：从时钟系统到量子力学的探索

1. 时钟系统基础

时钟系统是一种独特的系统，它由一个包含 N 个状态的唯一跳跃链组成，随着时间的推移，这些状态会按顺序依次出现，其演化具有周期性，周期为 εN。周期性演化和时钟是“物理时间”概念的基本要素。

1.1 确定性和概率性时钟

• 确定性时钟 ：当系统在 t 时刻处于状态 ρ 时，在 t + ε 时刻必然处于状态 ρ + 1。对于 ρ = N 的情况，将状态 ρ = N + 1 等同于 ρ = 1，从而实现周期性演化。例如，当 pτ(t = 0) = δτ,τ0 时，指针在 t = 0 时从位置 τ0 开始，在 t + ε 时移动到位置 τ0 + 1，依此类推，这就是一个确定性时钟。
• 概率性时钟 ：概率性时钟是确定性时钟上的概率分布，pτ(t = 0) 表示指针初始位置在 τ 的概率。

时钟系统的步长演化算子由唯一跳跃算子给出：
(\hat{S} {\tau\rho}(t) = \delta {\tau,\rho + 1}) (4.347)

在这个算子的作用下，波函数和局部概率的演化规律如下：
(\tilde{q} {\tau}(t + \varepsilon) = \hat{S} {\tau\rho} \tilde{q} {\rho}(t) = \tilde{q} {\tau - 1}(t))
(\bar{q} {\tau}(t + \varepsilon)