8、概率时间中的局部链与转移矩阵

概率时间中的局部链与转移矩阵

1. 局部链概述

局部链在概率系统的研究中具有重要地位。其权重函数可写为局部因子的乘积，即 (w[s] = \prod_{m=0}^{M - 1}K(m)B) ，其中局部因子 (K(m)) 仅涉及相邻层 (m) 和 (m + 1) 的 Ising 自旋，边界项 (B) 取决于初始和最终自旋状态。

1.1 Ising 链

一维 Ising 模型（Ising 链）是经典统计中广为人知且理解深入的模型。它最初用于研究磁性，如今在科学各领域有广泛应用。其概率分布由具有最近邻相互作用的作用量给出：
- 作用量 (S = \sum_{m=0}^{M - 1}L (m)) ，其中 (L (m) = \beta(\kappa s(m + 1)s(m) + 1)) 。
- 概率 (p[s] = Z^{-1} w[s]) ， (w[s] = \exp(-S )B) ，这里 (Z = \int Dsw[s]) ，且 (\beta > 0) ，(\kappa = \pm1) 。
- 当 (\kappa = -1) 时，相互作用为“吸引”，自旋对齐的构型更受青睐，类似于铁磁体。
- 当 (\kappa = 1) 时，为“排斥相互作用”，相邻位置自旋符号相反的构型概率更高，类似于反铁磁体。
- 当 (\beta \to \infty) 时，对于 (\kappa = -1) ，得到平凡唯一跳跃链；对于 (\kappa = 1) ，得到交替唯一跳跃链。

1.2 一般局部链

将 Ising 模型推广到一般“局部链”，要求权重函数 (w[s] \geq 0) 对所有自旋构型成立。对于