46、矩阵链：概率分布中的新视角

矩阵链：概率分布中的新视角

1. 矩阵链简介

概率分布的局部性并不局限于局部链，矩阵链也是一种具有局部性的概率分布形式。在矩阵链中，局部链的局部因子 (K(m)) 被实 (n×n) 矩阵 (\hat{K}(m)) 所取代，矩阵元素取决于位置 (m) 和 (m + 1) 的自旋。

1.1 矩阵链的定义

通过矩阵乘法，我们定义 (\hat{W} = \hat{K}(M - 1) \hat{K}(M - 2) \cdots \hat{K}(1) \hat{K}(0) \hat{B}) ，其中 (\hat{K}(m)) 是相邻两个自旋 (s(m + 1)) 和 (s(m)) 的函数，矩阵顺序是较大的 (m) 在左边。边界矩阵 (\hat{B}) 取决于初始和最终自旋 (s_{in}) 和 (s_f) 。权重函数是一个标量，如 (tr(\hat{A})) 或 (det(\hat{A})) 。

1.2 概率分布

概率分布的形式为 (p[s] = Z^{-1}w[s]) ，其中 (Z = \int Ds w[s]) 。为了从 (\hat{W}) 构建标量 (w[s]) ，且对于所有自旋配置 (w[s] \geq 0) ，我们使用迹来定义 (w[s] = tr \hat{W}[s]) 。 (w[s]) 的正性对 (\hat{W}[s]) 以及 (\hat{K}(m)) 的可能选择施加了限制，同时要求至少有一种配置下 (w[s]) 不为零，以确保 (Z > 0) 。

概率分布的局部性源于每个矩阵 (\hat{K}(m)) 仅连接链上两个相邻位置的自旋，类似于广义 Ising 模型中的最近邻相互作用。从 (n×n) 矩阵 (\