9、经典统计与概率时间：从转移矩阵到时间演化

经典统计与概率时间：从转移矩阵到时间演化

转移矩阵的应用

转移矩阵在经典统计中有着重要的应用。历史上，它主要用于计算配分函数。同时，我们也能用它来明确表示概率分布。对于局部链，包括局部矩阵链，所有 $m$ 对应的转移矩阵集合所包含的概率信息与概率分布是等价的，二者可以相互推导。

接下来，我们将探讨如何利用转移矩阵计算局部可观测量的期望值。在经典统计中，这种形式体系类似于量子力学中的海森堡形式体系。对于经典统计系统，转移矩阵类似于量子力学中的演化算符。在适当归一化为步长演化算符后，它能生成经典统计系统的演化。我们还将为经典统计发展出类似于量子力学中薛定谔图景的形式，这涉及到波函数和经典密度矩阵。对于特定类型的子系统——量子子系统，步长演化算符将直接与相应量子系统的哈密顿量相关。

局部可观测量的算符

在量子力学中，可观测量通常与算符相关联，算符一般用矩阵或微分算符表示。经典统计系统也有类似的结构。通过构建与局部可观测量相关的算符，我们可以通过对相应算符和转移矩阵幂次的适当乘积求迹来表示该可观测量的期望值。

局部可观测量

局部可观测量由链上给定位置 $m$ 处的伊辛自旋或其邻域内的伊辛自旋构建而成。这里的“局域性”指的是链上的局域性，例如在 $m$ 上的局域性。狭义地说，“局部可观测量”是那些可以由单个位点 $m$ 处的占据数或伊辛自旋构建的可观测量。因此，$m$ 处的局部可观测量是 $n_{\gamma}(m)$ 的函数，例如占据数 $n_{\gamma}(m)$ 本身，或者同一 $m$ 处占据数的乘积，如 $n_{\gamma}(m)n_{\delta}(m)$。之后我们还会采用更广义的局部可观测量定义，即只要求局