9、平行束投影图像重建方法解析

平行束投影图像重建方法解析

1. 平行束系统投影值离散表示

在平行束系统中，角度为 $\alpha_p$ 时，屏幕上点 $s_l$ 处确定的每个投影值，可用投影函数的离散形式表示：
$\hat{p}_p(l, \omega) = p_p(l\Delta_p^s, \omega\Delta_p^{\alpha})$
其中，$\omega$ 是投影编号，$l$ 是矩阵中的探测器编号。

离散实现图像重建方法存在一个显著问题，即采样过程后频谱段重叠的影响。根据采样理论，傅里叶变换的离散形式 $\hat{P} p(f, \alpha_p)$ 由以下关系定义：
$\hat{P}(f, \alpha_p) = \sum {i = -\infty}^{\infty} P(f + \frac{i}{\Delta_p^s}, \alpha_p)$
也可写成：
$\hat{P}(f, \alpha_p) = \Delta_p^s \sum_{i = -\infty}^{\infty} p_p(i\Delta_p^s, \alpha_p) e^{-j2\pi i\Delta_p^s f}$
当索引 $i$ 的范围限制在 $i = 0$ 时，$\hat{P}(f, \alpha_p) = P(f, \alpha_p)$。这意味着对于空间受限的投影函数 $p_p(s, \alpha_p)$（其频谱是无限的），当 $i \neq 0$ 时，频谱 $\hat{P}(f, \alpha_p)$ 中的分量频谱 $P(f, \alpha_p)$ 会重叠，这是重建图像失真的严重来源。

2. 从投影进行图像重建的问题提出

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