47、非合作凹博弈中的均衡及其在电动汽车充电场景的应用

非合作凹博弈中的均衡及其在电动汽车充电场景的应用

1. 凹博弈基础与均衡条件

在非合作凹博弈中，策略空间集 $S_i$ 是凸集。收益函数 $u_i$ 关于 $x$ 连续，并且对于每个固定的 $x_{-i}$，关于 $x_i$ 是凹函数。或者考虑成本函数 $c_i$，它关于 $x$ 连续，对于每个固定的 $x_{-i}$，关于 $x_i$ 是凸函数。在凹博弈中，纯纳什均衡总是存在的。

均衡点是一个非线性方程组的解，类似于标准优化中的 Karush - Kuhn - Tucker（KKT）条件。假设第 $i$ 个玩家的策略空间可以由一组可微函数定义：
$S_i = {x_i : h_{i1}(x_i) \geq 0, h_{i2}(x_i) \geq 0, \ldots, h_{ik_i}(x_i) \geq 0}$

在该博弈中，均衡点 $x$ 必须满足所有策略空间的可行性条件：
$\forall i \in N, \forall j \in {1, \ldots, k_i} : h_{ij}(x_i) \geq 0$

以及互补松弛条件：
$\forall i \in N, \forall j \in {1, \ldots, k_i}, \exists \lambda_{ij} \geq 0 : \lambda_{ij}h_{ij}(x_i) = 0$

还有拉格朗日函数的驻点条件：
$\nabla_{x_i}u_i(x) - \sum_{j = 1}^{k_i} \lambda_{ij}\nabla_{x_i}h_j(x_i) = 0, \forall i \in N$

2. 电动汽