48、直流电机PID与PIλDμ控制器设计及故障检测方法

直流电机PID与PIλDμ控制器设计及故障检测方法

在工业控制领域，直流电机的控制和复杂机械系统的故障检测至关重要。本文将围绕直流电机的PID与PIλDμ控制器设计，以及复杂机械系统故障检测方法展开探讨。

1. 复杂机械系统故障检测相关方法

在复杂机械系统中，故障检测是保障设备正常运行的关键。例如，在滚动轴承、齿轮等部件的故障检测中，有多种方法被广泛应用。
- AR模型的应用 ：AR（自回归）模型可以根据其系数的方差来预测故障的严重程度，无需大量的计算，是一种高效的故障预测工具。
- 其他故障检测方法 ：众多学者在该领域进行了大量研究，提出了多种故障检测方法，如下表所示：
| 方法 | 应用场景 |
| — | — |
| 自适应算法用于振动信号的无监督噪声消除 | 机械系统振动信号处理 |
| 小波和标量指标用于滚动轴承故障评估 | 滚动轴承故障检测 |
| 泰格 - 凯泽能量算子用于轴承故障诊断 | 轴承故障诊断 |

2. 直流电机控制器设计概述

在直流电机控制中，为了满足不同的性能要求，需要设计合适的控制器。传统的PID（比例 - 积分 - 微分）控制器是一种常用的控制方法，但对于一些需要更高灵活性和稳定性的系统，分数阶控制器设计方法应运而生。

3. 模型降阶与控制器设计需求

模型降阶技术在航空航天、化工、电气、机械等多个领域都有重要应用。在机械和过程控制系统中，为了获得最终产品，模型降阶起着关键作用。对于大型系统的分析往往复杂且耗时，因此需要设计数学模型来检查系统的稳定性。如果系统模型不能满足期望的性能要求，则需要设计控制器。控制器的实现和阶数取决于具体的系统，可以是整数阶或分数阶。

对于满足劳斯 - 赫尔维茨稳定性准则的系统，解析和实验方法是有效的。然而，对于需要更大灵活性和超出劳斯 - 赫尔维茨准则稳定性区域的控制系统，分数阶方法是一个更好的选择，它能够满足超出传统准则的稳定性条件。

4. PID控制器传递函数

PID控制器的数学表达式为：
[u(t) = k_1\left[e(t) + \frac{1}{T_i}\int_{0}^{t}e(t)dt + T_d\frac{de(t)}{dt}\right]]
其中，(u(s))表示命令信号，(e(s))表示误差信号，(k_1)为比例增益，(T_i)和(T_d)分别为积分和微分时间常数。

对应的PID控制器传递函数为：
[G_c(s) = k_1\left(1 + \frac{1}{T_is} + T_ds\right)]
可改写为：
[G_c(s) = k_1 + \frac{k_2}{s} + k_3s]
其中，(k_2)和(k_3)分别为积分和微分增益。

为了使增强过程的性能与模型的期望性能相匹配，需要推导控制器。闭环控制系统应满足期望的性能要求，通过设计全阶和分数阶PID控制器可以满足这些要求。

5. 分数阶系统的概念

分数阶系统可以由传统整数阶系统相加得到，也可以从分数阶微分方程中获得。典型的N项线性分数阶微分方程（FODE）为：
[\alpha_n D^{\beta_n}_t y(t) + \cdots + \alpha_1D^{\beta_1}_t y(t) + \alpha_0D^{\beta_0}_t y(t) = 0]
考虑控制函数后，方程变为：
[\alpha_n D^{\beta_n}_t y(t) + \cdots + \alpha_1D^{\beta_1}_t y(t) + \alpha_0D^{\beta_0}_t y(t) = u(t)]
经过拉普拉斯变换后，得到分数阶传递函数：
[G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{1}{\alpha_0s^{\beta_0} + \alpha_1s^{\beta_1} + \cdots + \alpha_ns^{\beta_n}}]
对于单变量动态系统，分数阶传递函数可以定义为：
[G(s) = \frac{b_0s^{\gamma_0} + b_1s^{\gamma_1} + \cdots + b_ms^{\gamma_m}}{a_0s^{\beta_0} + a_1s^{\beta_1} + \cdots + a_ns^{\beta_n}}]
其中，(b_i)和(a_i)为常数，(\gamma_i)和(\beta_i)为随机有理数或实数。

分数阶系统的稳定性与整数阶系统不同，其根可能位于复平面的右半部分或左半部分。Matignon稳定性定理指出，分数阶传递函数(G(s) = \frac{N(s)}{D(s)})稳定的充要条件是(\vert\arg(\sigma_i)\vert = \alpha\frac{\pi}{2})，其中(\sigma = s^q)，(0 < \alpha < 2)，(\sigma_i)是(D(\sigma) = 0)的第(i)个根。如果(s = 0)是(D(s))的单根，则系统不稳定。

分数阶系统稳定性的分析还可以通过将特征方程进行变换来实现。对于一般的分数阶系统特征方程：
[\alpha_0s^{\beta_0} + \alpha_1s^{\beta_1} + \cdots + \alpha_ns^{\beta_n} = \sum_{i = 0}^{n}\alpha_is^{\beta_i} = 0]
当(\beta_i = \frac{v_i}{v})时，变换到(\sigma)平面的方程为：
[\sum_{i = 0}^{n}\alpha_is^{\frac{v_i}{v}} = \sum_{i = 0}^{n}\alpha_i\sigma^{v_i} = 0]
其中，(\sigma = s^{\frac{k}{m}})，(m)是(\beta_i)分母的最小公倍数。对于特定的(\alpha_i)，如果变换方程所有根的全相位为(\vert\varphi_{\sigma}\vert = \vert\arg(\sigma)\vert)，则分数阶系统的稳定性有以下条件：
- 稳定性条件：(\frac{\pi}{2m} < \vert\arg(\sigma)\vert < \frac{\pi}{m})
- 振荡条件：(\vert\arg(\sigma)\vert = \frac{\pi}{2m})

如果线性时不变分数阶系统满足上述两个条件，则系统稳定，否则不稳定。

6. 分数阶控制器设计

分数阶控制（FOC）系统的研究大多是理论性的，实际应用范围还不够广泛。本文的主要目的是分析分数阶控制系统的控制性能。

PID控制器可以转换为分数阶PIλDμ控制器，其积分器的阶数为实数(\lambda)，微分器的阶数为实数(\mu)。在拉普拉斯域中，其传递函数为：
[C(s) = K_P + \frac{K_I}{s^{\lambda}} + K_Ds^{\mu}]
其中，(K_P)、(K_I)和(K_D)分别为比例、积分和微分增益常数。对于经典PID控制器，(\lambda = 1)且(\mu = 1)；当(\mu = 0)时，得到PIλ控制器；当(\lambda = 0)时，得到PDμ控制器。这些控制器都是PIλDμ控制器的特殊情况，为分数阶控制系统提供了改变动态特性的灵活性。

设计分数阶控制器主要分为以下两个步骤：
- 步骤1：设计(K_P)
超调量([P_r])、调节时间([T_s])和静态误差([E_t])与比例增益(K_P)有关。一般来说，(K_P)可以通过以下公式获得：
[K_P \geq \frac{100}{E_t}]
选择(K_P)的目的是使静态误差最小。
- 步骤2：设计(K_D)、(\mu)、(K_I)和(\lambda)
为了获得这些参数的值，需要进行以下分析。假设控制器传递函数为(C(s))，系统传递函数为(G(s))，且系统具有单位反馈。受控系统的相位裕度公式为：
[\varphi_m = \arg\left[C(j\omega_g)G(j\omega_g)\right] + \pi]
其中，(j\omega_g)为穿越频率。通过设计特定形式的控制器(C(s) = k_1\frac{k_2s + 1}{s^v})，其中(k_1 = \frac{1}{K_{plant}})，(k_2 = \tau)（(K_{plant})和(\tau)分别为系统的增益和时间常数），可以得到：
[\varphi_m = \pi - (1 + v)\frac{\pi}{2}]
固定给定系统的增益裕度，代入增益值后可以求出(v)的值，进而得到(k_1)和(k_2)的值。使用这些常数可以得到分数阶IλDμ控制器，其形式为：
[C(s) = k_1k_2s^{(1 - v)} + k_1s^{-v}]
其中，(K_D = k_1k_2)，(K_I = k_1)。对于给定的(K_P)，分数阶控制器的完整传递函数为：
[C(s) = K_P + K_Ds^{(1 - v)} + K_Is^{-v}]
通过与(C(s) = K_P + \frac{K_I}{s^{\lambda}} + K_Ds^{\mu})比较，可以得到(\mu = (1 - v))和(\lambda = v)。

7. 控制器设计的齐格勒 - 尼科尔斯第二方法

齐格勒 - 尼科尔斯第二方法允许设置(T_i = \infty)和(T_d = 0)。通过增加比例控制作用的增益(K)，直到系统输出出现持续振荡，此时的增益为临界增益(K_{cr})，对应的时间周期为临界周期(P_{cr})。根据齐格勒 - 尼科尔斯第二方法，可以从下表中获得参数(K_p)、(T_i)和(T_d)的值：
| 控制器类型 | (K_p) | (T_i) | (T_d) |
| — | — | — | — |
| P | (0.5K_{cr}) | (\infty) | 0 |
| PI | (0.45K_{cr}) | (\frac{1}{1.2}P_{cr}) | 0 |
| PID | (0.6K_{cr}) | (0.5P_{cr}) | (0.125P_{cr}) |

经过调谐的PID控制器传递函数为：
[G_c(s) = K_p\left(1 + \frac{1}{T_is} + T_ds\right) = 0.6K_{cr}\left(1 + \frac{1}{0.5P_{cr}s} + 0.125P_{cr}s\right) = 0.075K_{cr}P_{cr}\frac{(s + \frac{4}{P_{cr}})^2}{s}]
该PID控制器在原点处有一个极点，在(s = -\frac{4}{P_{cr}})处有两个零点。

8. 直流电机控制器设计实例

以一个典型的直流电机为例，其角速度(\omega(t))由施加的电压(V_a)控制。直流电机的数学模型如下：
[G_{DCM}(s) = \frac{\theta(s)}{V_a(s)} = \frac{K_m}{s[(Ls + R)(Js + K_f) + K_bK_m]}]
在大多数应用中，直流电机的时间常数可以忽略不计，因此简化后的连续数学模型为：
[G_{DCM}(s) = \frac{\theta(s)}{V_a(s)} = \frac{K_m}{s[R(Js + K_f) + K_bK_m]} = \frac{K_{DCM}}{\tau(\tau_s + 1)}]
其中，(\tau = \frac{RJ}{RK_f + K_bK_m})，(K_{DCM} = \frac{K_m}{RK_f + K_bK_m})，且(K_m = K_b)。

给定直流电机的物理参数：(R = 6\Omega)，(K_m = K_b = 0.1)，(K_f = 0.2\ Nm\cdot s)，(J = 0.01\ kg\cdot m^2/s^2)，可以得到其传递函数为：
[G_{DCM}(s) = \frac{0.08}{s(0.05s + 1)}]

9. 齐格勒 - 尼科尔斯方法设计控制器及稳定性和灵敏度分析

• 确定起始点 ：首先只考虑比例增益(K_p)，闭环响应为：
  [G_{clZN} = \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{0.08K_P}{s(0.05s + 1) + K_P}]
  根据劳斯 - 赫尔维茨准则，当(K_P \geq 62.5)时，系统会出现持续振荡。
• 参数调整 ：在MATLAB程序中设置一个试验范围，将值代入(G_{cZN}(s) = K_p\left(1 + \frac{1}{T_is} + T_ds\right))，得到控制器传递函数(G_{cZN}(s) = \frac{37.4s^2 + 523.6s + 1833}{s})。
• 微调参数 ：根据制造要求，可以在编程中设置最大超调量。一般来说，为了使系统更好地建立，最大超调量应在10%到40%之间。使用MATLAB程序，将增益从120调整到30，步长为 - 0.2；将零点从7调整到0.3，步长为 - 0.2。经过微调后得到以下结果：
  • 增益((K) = 37.4)
  • 零点((a) = 7)
  • 最大超调量((m) = 1.05)
• 闭环传递函数 ：最终得到系统的绝对闭环传递函数为：
  [G_{clZN}(s) = \frac{2.992s^2 + 41.89s + 146.6}{0.05s^3 + 3.992s^2 + 41.89s + 146.6}]

通过绘制极点 - 零点图和阶跃响应图，可以直观地观察系统的稳定性和响应特性。极点 - 零点图显示了系统极点的位置，而阶跃响应图则展示了系统在阶跃输入下的输出响应。

综上所述，在复杂机械系统故障检测中，AR模型等方法可以有效地预测故障严重程度；在直流电机控制器设计中，分数阶控制器设计方法提供了更大的灵活性和稳定性，通过齐格勒 - 尼科尔斯方法等可以设计出满足特定性能要求的控制器。这些方法和技术在实际工程应用中具有重要的价值。

直流电机PID与PIλDμ控制器设计及故障检测方法

10. 系统稳定性与响应特性分析

系统的稳定性和响应特性是衡量控制器设计优劣的重要指标。在上述直流电机控制器设计实例中，我们通过齐格勒 - 尼科尔斯方法得到了控制器的参数，并得到了系统的闭环传递函数。下面将进一步分析系统的稳定性和响应特性。

• 稳定性分析 ：

  • 从极点 - 零点图（图 46.8）中可以直观地看到系统极点的位置。极点的位置决定了系统的稳定性，根据前面提到的分数阶系统稳定性条件，若极点满足相应的相位条件，则系统稳定。在这个例子中，通过观察极点 - 零点图，可以判断系统是否处于稳定区域。
  • 对于分数阶系统，还可以通过分析特征方程的根在复平面的分布来判断稳定性。如前面所述，将特征方程进行变换后，根据根的相位条件来确定系统的稳定性。

• 响应特性分析 ：

  • 阶跃响应图（图 46.9）展示了系统在阶跃输入下的输出响应。从阶跃响应图中可以得到系统的一些重要性能指标，如超调量、调节时间等。
  • 超调量反映了系统在响应过程中超过稳态值的程度，一般希望超调量在一定范围内，如前面提到的 10% - 40% 之间。在这个例子中，最大超调量为 1.05。
  • 调节时间表示系统响应达到并保持在稳态值附近一定误差带内所需的时间，它反映了系统的响应速度。

11. 分数阶控制器的优势与应用前景

分数阶控制器相较于传统的整数阶控制器具有一些独特的优势，使其在实际应用中具有广阔的前景。

• 优势 ：

  • 更大的稳定性区域 ：分数阶系统的稳定性区域与整数阶系统不同，其根可以位于复平面的更广泛区域，这使得分数阶控制器能够在更复杂的系统中实现稳定控制。
  • 更高的灵活性 ：分数阶控制器的积分和微分阶数可以是实数，这为控制器的设计提供了更多的自由度，可以根据系统的具体要求进行灵活调整。
  • 更好的控制性能 ：通过合理设计分数阶控制器的参数，可以使系统具有更好的响应特性，如更小的超调量、更快的响应速度等。

• 应用前景 ：

  • 工业自动化 ：在工业生产中，许多系统具有复杂的动态特性，分数阶控制器可以更好地适应这些系统，提高生产效率和产品质量。
  • 电力系统 ：在电力系统的控制中，分数阶控制器可以用于发电机的调速、电压调节等，提高电力系统的稳定性和可靠性。
  • 机器人控制 ：机器人的运动控制需要精确的控制算法，分数阶控制器可以为机器人提供更灵活、更稳定的控制，提高机器人的运动性能。

12. 总结与展望

本文围绕复杂机械系统的故障检测和直流电机的控制器设计展开了详细的讨论。

• 复杂机械系统故障检测 ：AR 模型可以根据其系数的方差有效地预测故障的严重程度，为故障检测提供了一种高效的方法。此外，还有许多其他的故障检测方法，如自适应算法、小波和标量指标等，这些方法在不同的应用场景中都具有一定的优势。

• 直流电机控制器设计 ：传统的 PID 控制器可以转换为分数阶 PIλDμ 控制器，通过合理设计控制器的参数，可以使系统具有更好的稳定性和响应特性。齐格勒 - 尼科尔斯方法是一种常用的控制器参数整定方法，通过该方法可以得到满足特定性能要求的控制器。

展望未来，随着工业技术的不断发展，对控制系统的性能要求越来越高。分数阶控制器作为一种新兴的控制方法，具有很大的发展潜力。未来的研究可以进一步深入探讨分数阶控制器的设计理论和方法，拓展其应用领域。同时，结合人工智能、机器学习等技术，开发更加智能、高效的控制系统，为工业生产和社会发展提供更好的支持。

以下是本文内容的一个简单流程图：

graph LR
    A[复杂机械系统故障检测] --> B[AR模型应用]
    A --> C[其他故障检测方法]
    D[直流电机控制器设计] --> E[PID控制器传递函数]
    D --> F[分数阶系统概念]
    D --> G[分数阶控制器设计]
    D --> H[齐格勒 - 尼科尔斯方法]
    H --> I[确定起始点]
    H --> J[参数调整]
    H --> K[微调参数]
    H --> L[得到闭环传递函数]
    L --> M[稳定性分析]
    L --> N[响应特性分析]
    G --> O[设计\(K_P\)]
    G --> P[设计\(K_D\)、\(\mu\)、\(K_I\)和\(\lambda\)]

通过这个流程图，可以更清晰地看到本文内容的整体结构和各个部分之间的关系。

总之，复杂机械系统的故障检测和直流电机的控制器设计是工业控制领域中的重要研究方向，分数阶控制器等新技术的应用将为这些领域带来新的发展机遇。