23、半线性分数阶系统的可控性与稳定性

半线性分数阶系统的可控性与稳定性

1. 引言

在工程和科学的各个领域中，可控性都扮演着非常重要的角色。在控制系统里，许多控制理论的基本问题，如最优控制、可稳定性或极点配置等，都可以在系统可控的假设下得到解决。一般来说，可控性意味着存在一个控制函数，能利用一组可允许的控制，将系统的解从其初始状态引导到最终状态，其中初始和最终状态可以在整个空间中变化。

对于非线性和半线性系统，一种标准的方法是将可控性问题转化为泛函空间中适当算子的不动点问题。分数阶微积分及其应用在过去四十多年里变得非常重要，因为它已成为建模多个复杂现象的有力工具，广泛应用于工程、化学、力学、空气动力学、物理学等领域。

对于无限维系统，可以区分出两种基本的可控性概念：近似（弱）可控性和精确（强）可控性。近似可控性意味着可以将系统引导到最终状态的任意小邻域内；精确可控性则意味着系统可以被引导到任意最终状态。显然，近似可控性的概念比精确可控性更弱。在有限维系统中，近似可控性和精确可控性的概念是一致的。

许多来自实际模型的控制系统可以用普通或偏分数阶微分方程或积分微分方程来描述。除了可控性，分数阶系统的稳定性也是一个非常重要的问题，特别是对于延迟系统，这个问题已经被研究了很多年。延迟微分方程是实际现象的基本数学模型，在工程、力学和经济学等领域都有应用。延迟在许多技术系统中经常出现，如电气、气动和液压网络、化学过程、长传输线等。

2. 基本符号

• Caputo分数阶导数 ：设$(X, |\cdot|)$是一个Banach空间，$J = [0, t_1]$，$\alpha \in (0, 1)$，$f : J \to