7、基于修正切比雪夫多项式的公钥加密算法

基于修正切比雪夫多项式的公钥加密算法

1. 浮点运算与整数运算

混沌系统是基于实数定义的。当使用混沌映射的加密算法在计算机（有限状态机）上实现时，它会变成一个从有限集到自身的变换。由于浮点运算具有较宽的动态范围，它似乎是切比雪夫多项式软件实现的最佳选择。然而，在公钥加密中不使用浮点运算有三个原因：
- 分布不均匀与冗余表示 ：浮点数在实数轴的任何给定区间上都不是均匀分布的，并且存在冗余的数字表示。由于浮点运算中的归一化计算，一些浮点数可能表示相同的实信号值。
- 消息长度限制 ：切比雪夫多项式及其浮点实现的不可逆性对消息长度有一定限制。例如，在一个公钥加密方案中，设 $l_s$、$l_r$、$l_M$ 分别是 $s$、$r$ 和 $M$ 的长度（以比特为单位），若在算法的软件实现中使用 $N$ 位精度算术，则 $l_M \leq N - l_s - l_r$。
- 缺乏分析工具 ：在浮点实现混沌映射时，没有分析工具来理解周期轨道的周期性结构。而使用整数时，有望建立数论和混沌理论之间的联系，以理解轨道的结构。

2. 修正切比雪夫多项式

为了将 ElGamal 和 RSA 公钥算法扩展到切比雪夫映射，我们使用以下映射：
$y = T_p(x)(\text{mod} N)$
其中 $x$ 和 $N$ 是整数，我们称其为修正切比雪夫多项式。

2.1 相关定理

• 定理 6.1 ：修正切比雪夫多项式在复合运算下满足交换律，即 $T_p