62、公钥加密高级主题解读

公钥加密高级主题解读

1. Rabin加密方案

Rabin加密方案是一种基于因式分解难题的公钥加密方案。我们可以将相关结果应用于Rabin陷门置换，从而得到该加密方案。首先，需要为这个陷门置换确定一个硬核谓词。实际上，与RSA的情况类似，最低有效位（lsb）就是Rabin陷门置换的一个硬核谓词。

1.1 方案构造

以下是Rabin加密方案的具体构造（Construction 15.39）：
- Gen（密钥生成） ：输入为 (1^n)，运行GenModulus((1^n)) 得到 ((N, p, q))，其中 (N = pq)，(p) 和 (q) 是 (n) 位素数（除了概率可忽略不计的情况），且 (p \equiv q \equiv 3 \pmod{4})。公钥为 (N)，私钥为 (\langle p, q \rangle)。
- Enc（加密） ：输入为公钥 (N) 和消息 (m \in {0, 1})，选择一个均匀的 (x \in QRN)，并满足约束条件 (lsb(x) = m)，输出密文 (c := [x^2 \bmod N])。
- Dec（解密） ：输入为私钥 (\langle p, q \rangle) 和密文 (c)，计算唯一的 (x \in QRN) 使得 (x^2 \equiv c \pmod{N})，并输出 (lsb(x))。

1.2 安全性

如果相对于GenModulus，因式分解是困难的，那么上述构造的Rabin加密方案是选择明文攻击（CPA）安全的（Theore