6、基于切比雪夫多项式及相关映射的密码系统研究

基于切比雪夫多项式及相关映射的密码系统研究

1. 引言

在密码学领域，寻找安全且高效的加密算法一直是研究的重点。切比雪夫多项式以及与之相关的雅可比椭圆切比雪夫有理映射在密码系统的实现中展现出了独特的应用价值。本文将深入探讨基于雅可比椭圆切比雪夫有理映射的浮点实现密码系统，以及基于切比雪夫多项式的整数实现密码系统，并对其安全性进行分析。

2. 雅可比椭圆切比雪夫有理映射

雅可比椭圆切比雪夫有理映射是一种有理函数，其定义如下：
设 (p) 为正整数，(\omega \in[-1,1]) 为实数，(k \in[0,1]) 为称为模数的实数。雅可比椭圆切比雪夫有理映射定义为：
[R_{p + 1}(\omega,k) = \frac{2\omega}{1 - k^2(1 - R_p(\omega,k)^2)(1 - \omega^2)}R_p(\omega,k) - R_{p - 1}(\omega,k)]
其中 (R_0(\omega,k) = 1) 且 (R_1(\omega,k) = \omega)。
当模数 (k = 0) 时，雅可比椭圆切比雪夫有理映射 (R_p(\omega,0)) 恰好是切比雪夫多项式，即 (R_p(\omega,0) = T_p(\omega))。
该映射具有半群性质，对于任意整数 (r,s \geq 2) 以及任意的 (\omega,k)，有：
[R_r(R_s(\omega,k),k) = R_{r \cdot s}(\omega,k)]
这意味着这些映射在复合运算下是可交换的，即 (R_r(R_s(\omega,k),k) = R_s(R_r(\omega,k),k))。 </