15、原子量子动力学计算中的关键方法与问题解决

原子量子动力学计算中的关键方法与问题解决

在原子量子动力学的计算中，我们常常需要将初始的偏微分方程（PDE）转化为一组常微分方程（ODE），并结合初始条件来求解。下面我们将详细探讨其中的一些关键方法和需要考虑的实际问题。

1. 从PDE到ODE的转化及相关矩阵计算

在计算中，由于基的非正交性，会在常微分方程中产生影响。当把初始的偏微分方程转化为一组常微分方程并补充初始条件后，为了进行数值求解，需要事先一次性计算矩阵元素 (h_l)、(d_{ll’})、(S) 以及初始状态系数 (c_0)。之后可以使用合适的数值方案来推进解的时间演化。

基展开的选择非常重要，因为它决定了重叠矩阵 (S)、(H) 和 (h_l)、(d_{ll’}) 的结构。例如，如果直接基是正交的，那么 (S = I)（单位矩阵），并且在含时薛定谔方程（TDSE）中 (S) 实际上不会出现。

以B样条为例，对于非正交的B样条分段基，由于其局部性，上述提到的所有矩阵都是宽度为 (2k_s + 1) 的带状矩阵，任何数值算法都能从它们的稀疏性中受益。需要注意的是，当要求波函数两端为零边界条件时，应从所选基集中移除第一个和最后一个B样条。

形式上，由于 (S) 与时间无关，可以对其求逆（计算 (S^{-1})），最终将常微分方程重写为：
(\dot{c}(t) = -iS^{-1} \cdot H_{BB}(t)c = \tilde{H}_{BB}(t)c(t))

将其简化为常规的特征值问题需要计算 (S^{-1})，然后进行矩阵 - 矩阵计算以得到 (\tilde{H}(t))。然而，当矩阵规模增大时，这种计算通常不被推荐，因此需要设计其他方法来解决