29、氢原子的量子力学解析

氢原子的量子力学解析

1. 氢原子的能量本征值

在氢原子的研究中，我们首先关注其能量本征值。通过一系列推导，我们得到了如下重要公式：
- 首先，(\lambda = n = Z\alpha\left(-\frac{m_ec^2}{2E}\right)^{\frac{1}{2}})，解出主量子数(n)后，可得到能量公式(E_n = -Z^2\left(m_ec^2\right)\alpha^2\cdot\frac{1}{2n^2}=-\left(\frac{Z^2e^2}{4\pi\epsilon_0}\right)\frac{1}{2n^2a_0})，这正是玻尔能量公式。
- 当用精细结构常数表示玻尔能量时十分方便，因为电子的静止能量(m_ec^2 = 0.511MeV)是物理学生熟知的。当(Z = 1)时，(E_1 = -13.6eV)。在原子单位制中，由于(\alpha c\equiv1)，玻尔能量可表示为(E_n = -\frac{Z}{2n^2}(a.u.))。
- 令(n = j + \ell + 1)，这相当于在特定级数展开中在(j)项后截断。由于(j)的最小值为(0)，所以有(\ell\leq n - 1)。通常，我们将(j)记为(n_r)，称为径向量子数，即(n = n_r + \ell + 1)。

2. 能量本征值的简并度

氢原子的能量本征值与量子数(\ell)无关，这导致了意外简并。为了求出简并度(g_H)，我们需要对给定主量子数(n)下所有可能的(m)（与角动量(z)分量相关的量子数）的(\ell)态求和：
- (g_H=\sum_{所有\ell}\sum_{m}=\sum_{\ell = 0}^{n - 1}(2