8、量子力学中的经典禁区穿透现象与相关问题解析

量子力学中的经典禁区穿透现象与相关问题解析

1. 引言

在量子力学的研究中，经典禁区穿透现象是一个引人入胜的话题。本文将深入探讨这一现象，以谐振子和无限深方势阱内有矩形势垒的情况为例，详细解析相关的原理、计算方法以及不确定性原理在其中的作用。

2. 谐振子本征函数特性

在分析谐振子本征函数时，我们以(\psi_3(x))为例。在经典允许区域，即势能曲线之间的区域，波函数向横坐标弯曲。例如，当(\psi_3(x) > 0)时，(d^2\psi_3(x) /dx^2 < 0)，无论(\psi_3(x))是正还是负，它总是向坐标轴弯曲。而在经典禁区，波函数则向远离横坐标的方向弯曲，这是概率密度呈指数衰减的特征。同时，(\psi_3(x))有三个节点，这与谐振子的量子数特性相符，量子数恰好表示节点的数量。

3. 经典禁区的非零概率密度

我们进一步研究经典禁区中束缚态的非零概率密度问题，以谐振子的基态为例。在经典禁区，动能为负，动量（速度）为虚数，这显然是不合理的，因此无法对动量进行测量，进而也无法测量粒子在经典禁区的位置。这是由不确定性原理导致的，对位置(x)的测量会给粒子增加大量能量，使动能再次变为正，即测量会将粒子推回经典允许区域。

谐振子基态的本征函数为：
(\psi_0 (x) = \sqrt{\frac{\alpha}{\sqrt{\pi}}} e^{-\alpha^2x^2/2})
概率密度为：
(P_0 (x) = \psi^*(x) \psi_0 (x) = \frac{\alpha}{\sqrt{\pi}} e^{-\alpha^2x^2})