11、量子力学中的多种物理现象及MATLAB模拟

量子力学中的多种物理现象及MATLAB模拟

1. 原子半径与壳层结构

原子的平均半径随原子序数（Z）从1到18呈现出一定规律。例如，氦（Z = 2）具有紧密的束缚能（25 eV），而锂（Z = 3）是金属。随后，2s“壳层”先填充，接着是2p“壳层”，最终以紧密束缚的惰性气体氖结束。之后，3s壳层开始填充，由束缚较松的金属钠开始，接着3p“壳层”填充，以另一种惰性气体氩结束。显然，电离势数据反映了原子的壳层结构。随着原子变得更复杂，其尺寸缓慢增大，金属中束缚较松的外层电子以及碱金属和惰性气体中束缚紧密的电子会使原子半径出现最大值。

2. 固体中的能带

孤立原子具有尖锐的能级，如氢原子。而在固体中，原子与附近原子相互作用，使得允许的能级扩展成“能带”，但仍存在禁带。可以用一个由固定离子产生的周期性势场来简单模拟这种情况，离子位置设定为常数，用户可以设置该常数。共享电子的能级以及周期性势场的最低能量本征函数会被展示出来。

能带能级在半导体工业中至关重要。“能带工程”通过向纯硅或锗晶体中添加少量杂质来实现。这些杂质在能带隙内具有尖锐的能级，可能靠近顶部（施主杂质）或底部（受主杂质）。

采用Koenig - Penny模型，它是一个由周期函数u(k)调制的自由粒子平面波。势场宽度为b，自由空间长度为a。波函数及其一阶导数在x = 0和x = a处需连续。求解后，在区域a和区域b分别有波矢ka和kb，近似解为：
[0 \sim \cos(k(a + b)) - \cos(k_aa) \cosh(k_bb) - \left[\sin(k_a) \sinh(k_bb)(k_b^2 - k_a^2)/2k_ak_b\right]]