12、量子力学与相对论：原理、模拟与应用

量子力学与相对论：原理、模拟与应用

量子力学基础

在量子力学领域，物质展现出波的特性。对于能量为 $E$ 的粒子，其动量 $p$ 和波数 $k$ 满足 $p = \hbar k = \sqrt{2m(E - V)}$，有效折射率 $n \sim \sqrt{1 - V/E}$。当势能 $V$ 发生变化时，会出现反射系数 $R$ 和透射系数 $T$，且 $R + T = 1$。若 $E > V$，势阱中存在振荡解；若 $E < V$，解为衰减指数形式，这种分析方法与光学类似，可直接应用于量子力学。

一维波包的散射与束缚

• 散射过程 ：研究散射需要一个局域化的解来表示“粒子”，量子力学中的“粒子”最好用具有一定波长范围的波包来表示，这样波包才能在空间中局域化。波数的展宽 $dk \sim 1/dx$，空间上更局域化意味着需要更多的波数。由于能量展宽导致的时间展宽为 $dt \sim \hbar/dE$。初始波包即使在没有相互作用的情况下，由于海森堡不确定性原理要求的动量值展宽，也会随时间在空间中扩散。
  以下是使用 MATLAB 求解一维薛定谔方程的代码示例：

% solve 1-d Schroedinger Eq using MATLAB PDE solver, Constant V, well or
% barrier, scattering
% energy in eV units, length in A and time in 10^-15 sec
mec2 = 511000.0; % eV - elect