51、有限状态机状态识别与验证中的SAT方法

有限状态机状态识别与验证中的SAT方法

1. 通过自适应区分序列进行状态识别

在有限状态机（FSM）中，若要识别当前状态，可针对固定机器 $M$ 及其状态集 $Q$ 构建自适应区分序列（ADS）。具体做法是，先确定潜在初始状态的子集 $Q_0 \subseteq Q$，并设定序列长度的上限 $l$（ADS 的长度即树的深度）。

ADS 的编码比唯一输入输出（UIO）序列的编码更复杂，因为这里要搜索的是树结构，而非单个单词。为解决此问题，我们参考了 Lee 和 Yannakakis 的观点，该观点将自适应区分序列与序列集关联起来：“当且仅当 $A$ 存在自适应区分序列时，所有集合 $Z_i$ 为单元素集可满足分离属性”。集合 $Z_i$ 包含序列，若存在 ADS，这些集合即为单元素集。因此，我们可搜索每个状态对应的一个序列（附带额外要求），而非直接搜索树。这一结果可总结为以下引理：

引理 3.2 ：以下两者存在一一对应关系：
1. 针对 $Q_0 \subseteq Q$ 的自适应区分序列。
2. 映射 $f: Q_0 \to I^*$，对于所有 $q, q’ \in Q_0$ 且 $q \neq q’$ 满足：
- (a) $f(q) \vdash q # q’$（即 $f(q)$ 是 $q$ 的 $Q_0$ 局部 UIO）。
- (b) 若 $wa$ 是 $f(q)$ 的前缀，且 $\langle q \rangle(w) = \langle q’ \rangle(w)$，则 $wa$ 也是 $f(q’)$ 的前缀。

证明（概要） ：