23、两种方法的探索：原始对偶与局部比率算法

两种方法的探索：原始对偶与局部比率算法

1. 局部比率算法基础

1.1 从无权顶点覆盖到加权命中集问题

最初，我们重新审视Gavril针对无权顶点覆盖问题提出的2 - 近似算法。该算法在每次迭代时，会选取两个顶点 (u) 和 (v)，以覆盖未被覆盖的边 ((u, v))。由于这条边必须被覆盖，所以任何顶点覆盖都至少要包含这两个顶点中的一个。若同时选取 (u) 和 (v)，最优解至少会减少1，而解中增加的顶点数不超过2。

为了将此算法扩展到加权命中集问题，我们采用了一种独特的策略。想象我们要购买所选元素作为解，并非一次性决定购买哪些元素并支付全部费用，而是反复选择元素并支付部分费用。每次支付 (\varepsilon) 给一个顶点时，就将其标价降低 (\varepsilon)。当元素的标价降为0时，就可以免费选取该元素。具体操作是，每次选择元素权重非零的子集 (S)，并为 (S) 中的每个元素支付 (\varepsilon = \min_{u\in S} w(u))。经过 (O(n)) 轮后，所有集合都会包含一个权重为0的元素，这些权重为0的元素构成的集合就是命中集。

1.2 LR - HS算法

以下是LR - HS算法的具体实现：

Algorithm 4 - LR - HS(U, S, w): a local ratio smax - approximation algorithm for hitting set
1: while there exists a positive set S do
2:
    ε ← min_{u∈S} {w(u