14、多通道间的最优流量分配

多通道间的最优流量分配

在网络流量分配问题中，我们常常需要在未知容量的多个通道间进行流量分配，同时考虑两种反馈类型：二进制反馈和吞吐量反馈。下面将详细介绍相关的研究内容和结果。

1. 吞吐量反馈下的浪费分析

在分析吞吐量反馈时，我们需要为浪费建立一个下界。首先考虑第 $t$ 轮的吞吐量 $P(t)$，它满足不等式：
$P(t) \leq g(t)z(t) + r(t)z(t) + \cdots + r(1)z(1)$
其中，$g(t) = \lceil\alpha t n\rceil$ 是第 $t$ 轮未承诺通道的数量，$g(t)z(t)$ 是未承诺通道下界之和，$r(i)z(i)$ 是在第 $i$ 轮成为承诺通道的下界之和。已知 $r(i)z(i)$ 可以用 $3\alpha D$ 上界约束（且 $z(1) = 0$），$g(t)z(t)$ 的上界可以通过以下方式得到：
$g(t)z(t) = \left\lceil\alpha t n\right\rceil\frac{D}{(1 - \alpha)\alpha^{t - 2}n} \leq \frac{1 + \alpha t n}{(1 - \alpha)\alpha^{t - 2}n}D = \frac{1 + \alpha\alpha^{t - 1}n}{(1 - \alpha)\alpha^{t - 1}n} \leq 3\alpha D \leq 3\alpha D$
通过将 $r(i)z(i)$ 和 $g(t)z(t)$ 的上界应用到不等式 (5) 中，可得 $P(t) \leq 3t\alpha D$。这意味着总浪费至少为：
$\sum_{t = 1}^{T - 1}(D - P(