POJ 3233 Matrix Power Series 矩阵快速幂

最新推荐文章于 2024-08-17 03:23:33 发布

原创最新推荐文章于 2024-08-17 03:23:33 发布 · 351 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

poj题解专栏收录该内容

94 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种使用矩阵快速幂方法高效求解等比数列前n项和的问题，适用于大范围的指数运算，通过构建特定矩阵并利用快速幂技巧，将复杂度降至log级别。

时空隧道

题目大意：
S(k)=A+A^2+A^3+A^4+……+A^k(mod m)
给出k和m&A，求S(k)

分析：
看到此题第一眼…水题…再看k<=10^9，感觉应该是降成log级别的比较合理一点…所以想到了二分…
S(n)=A^1+A^2+……+A^n
S(n)=(E+A^n/2)*S(n/2)+A^n(n&1)
S(n)=(E+A^n/2)*S(n/2)(!(n&1))
然而此种做法跑了2344ms…（2333）
一看排行榜0ms（差距有点大…还是去看题解…）
嗯…矩阵套矩阵…
考虑变换形式…因为矩阵是个等比矩阵，所以我们可以提取公因式…
S(n)=A*(E+A*(E+……+A*(E+A)……))
额，这是个啥？？
我们观察得到，所有的形式都是A*（E+balabala）…
那么我们能不能构造一个矩阵使得这个矩阵自乘之后可以出现A*(E+A)…
设这个神奇的矩阵为M…

M= A E
   0 E

自己推一推就会发现M^(k+1)的右上角就是我们要的ans+E，所以ans=右上角的矩阵-E

代码如下：
（只写了二分的代码…）

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=30+5;
int n,m,MOD;
struct Matrix{
    int M[maxn][maxn];
    void clear(void){
        memset(M,0,sizeof(M));
    }
}E,G,res;
Matrix operator * (Matrix x,Matrix y){
    Matrix ans;
    ans.clear();
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
            for(int k=0;k<n;k++)
                ans.M[i][j]=(ans.M[i][j]+x.M[i][k]*y.M[k][j]%MOD)%MOD;
    return ans;
}
Matrix operator + (Matrix x,Matrix y){
    Matrix ans;
    ans.clear();
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
            ans.M[i][j]=(x.M[i][j]+y.M[i][j])%MOD;
    return ans;
}
inline void binary(int k){
    if(k==1){
        res=res*G;
        return;
    }
    binary(k/2);
    Matrix tmp=G,ans=E;
    int b=k/2;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=ans*tmp;
        tmp=tmp*tmp,b>>=1;
    }
    ans=ans+E;res=res*ans;
    if(k&1){
        ans=E;tmp=G;b=k;
        while(b){
            if(b&1)
                ans=ans*tmp;
            tmp=tmp*tmp,b>>=1;
        }
        res=res+ans;
    }
}
signed main(void){
    G.clear();E.clear();res.clear();
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&MOD);
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
            scanf("%d",&G.M[i][j]),G.M[i][j]%=MOD;
    for(int i=0;i<n;i++)
        E.M[i][i]=1;
    for(int i=0;i<n;i++)
        res.M[i][i]=1;
    binary(m);
    for(int i=0;i<n;i++,cout<<endl)
        for(int j=0;j<n;j++)
            cout<<res.M[i][j]<<" ";
    return 0;
}

by >_< NeighThorn