poj 3233 Matrix Power Series 矩阵快速幂

本文探讨了如何使用矩阵快速幂解决等比级数求和问题,通过矩阵分解与递推公式,实现高效计算。利用矩阵快速幂模板简化了复杂计算过程。

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题目

题目链接:http://poj.org/problem?id=3233

题目来源:《挑战》例题。

简要题意:求矩阵的等比级数之和。

题解

曾经也思考过类似的问题,但是的确没有想出来。

这么个问题也可以算一个很经典的模型了。

对矩阵进行划分然后递推。

Sk=i=1kAi ,可得到如下等式:
[A0]×[A0II]k=[Ak+1Sk]

然后套个矩阵快速幂的模板就能解决了。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <stack>
#include <queue>
#include <string>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#define fi first
#define se second
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
// head
const int N = 60;

int MOD;
struct Matrix {
    LL grid[N][N];
    int row, col;

    Matrix() {
        row = col = N;
        memset(grid, 0, sizeof(grid));
    }
    Matrix operator *(const Matrix &b) {
        Matrix res;
        res.setSize(row, b.col);
        for (int i = 0; i < res.row; i++) {
            for (int j = 0; j < res.col; j++) {
                LL t = 0;
                for (int k = 0; k < col; k++) t += (grid[i][k] * b.grid[k][j]) % MOD;
                res.grid[i][j] = t % MOD;
            }
        }
        return res;
    }
    Matrix operator ^(int exp) {
        Matrix res, temp;
        res.setIdentity();
        temp = *this;
        for (; exp > 0; exp >>= 1, temp=temp*temp) {
            if (exp & 1) res = temp * res;
        }
        return res;
    }
    void setSize(int row, int col) {
        this->row = row, this->col = col;
    }
    void setValue(int row, int col, LL val) {
        grid[row][col] = val;
    }
    LL getValue(int row, int col) {
        return grid[row][col];
    }
    void clear() {
        memset(grid, 0, sizeof(grid));
    }
    void setIdentity() {
        clear();
        for (int i = 0; i < N; i++) grid[i][i] = 1 % MOD;
    }
};

int main() {
    int n, k, x;
    while (scanf("%d%d%d", &n, &k, &MOD) == 3) {
        Matrix init, trans;
        init.setSize(n, 2*n);
        trans.setSize(2*n, 2*n);

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                scanf("%d", &x);
                x %= MOD;
                trans.setValue(i, j, x);
                init.setValue(i, j, x);
                if (i != j) continue;
                trans.setValue(i+n, j+n, 1);
                trans.setValue(i, j+n, 1);
            }
        }

        init = init * (trans^(k));
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                printf("%I64d%c", init.getValue(i, j+n) % MOD, j==n-1 ? '\n' : ' ');
            }
        }
    }
    return 0;
}
以下是Java解决POJ3233矩阵幂序列问题的代码和解释: ```java import java.util.Scanner; public class Main { static int n, k, m; static int[][] A, E; public static void main(String[] args) { Scanner sc = new Scanner(System.in); n = sc.nextInt(); k = sc.nextInt(); m = sc.nextInt(); A = new int[n][n]; E = new int[n][n]; for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { A[i][j] = sc.nextInt() % m; E[i][j] = (i == j) ? 1 : 0; } } int[][] res = matrixPow(A, k); int[][] ans = matrixAdd(res, E); printMatrix(ans); } // 矩阵乘法 public static int[][] matrixMul(int[][] a, int[][] b) { int[][] c = new int[n][n]; for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { for (int k = 0; k < n; k++) { c[i][j] = (c[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % m; } } } return c; } // 矩阵快速幂 public static int[][] matrixPow(int[][] a, int b) { int[][] res = E; while (b > 0) { if ((b & 1) == 1) { res = matrixMul(res, a); } a = matrixMul(a, a); b >>= 1; } return res; } // 矩阵加法 public static int[][] matrixAdd(int[][] a, int[][] b) { int[][] c = new int[n][n]; for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { c[i][j] = (a[i][j] + b[i][j]) % m; } } return c; } // 输出矩阵 public static void printMatrix(int[][] a) { for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { System.out.print(a[i][j] + " "); } System.out.println(); } } } ``` 解释: 1. 首先读入输入的n、k、m和矩阵A,同时初始化单位矩阵E。 2. 然后调用matrixPow函数求出A的k次幂矩阵res。 3. 最后将res和E相加得到结果ans,并输出。 4. matrixMul函数实现矩阵乘法,matrixPow函数实现矩阵快速幂matrixAdd函数实现矩阵加法,printMatrix函数实现输出矩阵
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