poj 3233 Matrix Power Series 矩阵快速幂

最新推荐文章于 2019-08-30 15:09:12 发布

ned_chu

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分类专栏：数学

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本文探讨了如何使用矩阵快速幂解决等比级数求和问题，通过矩阵分解与递推公式，实现高效计算。利用矩阵快速幂模板简化了复杂计算过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

题目链接：http://poj.org/problem?id=3233

题目来源：《挑战》例题。

简要题意：求矩阵的等比级数之和。

题解

曾经也思考过类似的问题，但是的确没有想出来。

这么个问题也可以算一个很经典的模型了。

对矩阵进行划分然后递推。

令 $S_k=\sum\limits_{i=1}^k{A^i}$ ，可得到如下等式：
$\begin{bmatrix} A & 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} A & I\\ 0 & I \end{bmatrix}^{k} = \begin{bmatrix} A^{k+1} & S_{k} \end{bmatrix}$

然后套个矩阵快速幂的模板就能解决了。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <stack>
#include <queue>
#include <string>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#define fi first
#define se second
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
// head
const int N = 60;

int MOD;
struct Matrix {
    LL grid[N][N];
    int row, col;

    Matrix() {
        row = col = N;
        memset(grid, 0, sizeof(grid));
    }
    Matrix operator *(const Matrix &b) {
        Matrix res;
        res.setSize(row, b.col);
        for (int i = 0; i < res.row; i++) {
            for (int j = 0; j < res.col; j++) {
                LL t = 0;
                for (int k = 0; k < col; k++) t += (grid[i][k] * b.grid[k][j]) % MOD;
                res.grid[i][j] = t % MOD;
            }
        }
        return res;
    }
    Matrix operator ^(int exp) {
        Matrix res, temp;
        res.setIdentity();
        temp = *this;
        for (; exp > 0; exp >>= 1, temp=temp*temp) {
            if (exp & 1) res = temp * res;
        }
        return res;
    }
    void setSize(int row, int col) {
        this->row = row, this->col = col;
    }
    void setValue(int row, int col, LL val) {
        grid[row][col] = val;
    }
    LL getValue(int row, int col) {
        return grid[row][col];
    }
    void clear() {
        memset(grid, 0, sizeof(grid));
    }
    void setIdentity() {
        clear();
        for (int i = 0; i < N; i++) grid[i][i] = 1 % MOD;
    }
};

int main() {
    int n, k, x;
    while (scanf("%d%d%d", &n, &k, &MOD) == 3) {
        Matrix init, trans;
        init.setSize(n, 2*n);
        trans.setSize(2*n, 2*n);

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                scanf("%d", &x);
                x %= MOD;
                trans.setValue(i, j, x);
                init.setValue(i, j, x);
                if (i != j) continue;
                trans.setValue(i+n, j+n, 1);
                trans.setValue(i, j+n, 1);
            }
        }

        init = init * (trans^(k));
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                printf("%I64d%c", init.getValue(i, j+n) % MOD, j==n-1 ? '\n' : ' ');
            }
        }
    }
    return 0;
}